Matematické Fórum

Joukieee · 25. 10. 2008 12:05

Zdravicko.. takze jaky mam problem.. potrebuju vypocitat tangens a prirozeny logaritmus jen pomoci + - * / a pomoci nejakych konstant :)
nekde sem videl ze se to resi pomoci rekurze nekde pomoci aproximace nekde pomoci taylorovi rady a Bernoulliho cisel..
myslim ze lnx nebude problem problem vidim ve vypoctu tg(x)..
tak se chci zeptat jestli bude jednodussi vypocitat nejak nejdriv sic a cos a pak to vydelit pro tg nebo pocitat nejakou metodou zrovna tg.. dekuju :)

Olin · 25. 10. 2008 12:36

Když jsem se tomuto problému věnoval já, tak jsem použil, že tg(x) = sin(x)/cos(x) s tím, že sin a cos jsem počítal pomocí Taylorových řad a ještě jsem využil toho, že se Taylorovy řady těchto dvou funkcí navzájem v jistém smyslu doplňují. Ale to dost možná není ten nejvhodnější přístup, přece jen tehdy jsem byl ještě "mladý"…

Marian · 25. 10. 2008 12:48 — Editoval Marian (25. 10. 2008 12:54)

↑ Joukieee:

Pro tangens je znám nekonečný řetězový zlomek, který má velmi dobré vlastnosti, co se aproximace hodnoty, ke které konverguje, týče. Nějaké drobné střípky se dají najít zde. Nevím ale, jak jsi obeznámen s teorií (nekonečných) řetězových zlomků (infinite continued fractions).

Pro logaritmus bych použil asi nejlépe klasickou potenční řadu, jejíž konvergence by se musela urychlit pomocí Eulerovy transformace (akcelerace).

Ale možností je v obou případech více. Záleží pro jaký účel to potřebuješ.

Joukieee · 25. 10. 2008 14:20

no pisu program v C ktery tohle bude zvladat.. spatne ale je ze nemam dostatecne znalosti z matematiky coz se snazim napravit.. takze program bude na vstupu zaznamenavat nejakou presnost na kterou se ma pocitat a posloupnost ktera se bude aproximovat.. sam tomu jeste nejak nechapu.. :)

potrebuju vedet jen ktery postup by byl nejvhodnejsi.. je jiste ze nemuzu ve vypoctech pouzit metodu s faktorialem protoze hodnoty rostou moc rychle...

Marian · 25. 10. 2008 14:48 — Editoval Marian (25. 10. 2008 14:51)

↑ Joukieee:
Pak bych pro tangens vybral určitě řetězový zlomek. Pro výpočet přirozeného logaritmu se možná bude hodit identita

která se hodí především pro menší hodnoty argumentu logaritmu, tedy pro menší hodnoty čísla x - což je dosti výhoda při praktickém výpočtu, protože ostatní řady pro logaritmus konvergují pro taková x hůře.

Joukieee

↑ Marian:
ano to vypada vhodne... sice vtom mam kvalitni zmatek ale chce to jen cist a ucit se..kazdopadne ted uz aspon vim kterou cestou na to.. moc dekuju.. :)

Fr4nkY · 27. 10. 2008 13:45

↑ Marian:
Dobry den,
prosim Vas aku literaturu, kde sa takymito nekonecnymi radmi zaoberaju, by ste mi odporucali?
popripade nejake internetove stranky
patram na nete a nemozem nic poriadne najst

Dakujem

Marian · 27. 10. 2008 14:13

↑ Fr4nkY:
Slovensky vyšla hezká kniha Tibor Šalát, Nekonečné rady. Lze čerpat také z česky psaných knih třeba od Holendy Řady, popř. Jarníkova kniha Diferenciální počet 1.

Ze světové literuatury pak třeba Konrad Knopp Theory and Application of Infinite Series (vyšlo i německy).

Joukieee · 29. 10. 2008 22:19

tak ten tangens resim pres nekonecnou radu sinu a cosinu a pak to delim.. neni to nejpresnejsi ale nevim jak bych implementovat nastavitelnou presnost u nekonecneho zlomku :) navic algoritmus na vypocet rady neni nejzlozitejsi ikdyz mi to trvalo docela dlouho nez sem nato prisel.. odvodit cos kdyz sem mnel sinus uz byla hracka.. :)

Joukieee · 31. 10. 2008 11:59

no a dostavam se k dalsimu problemu s prirozenym logaritmem..:)
nevim ci bude jednodussi pouzit identitu plus nejake osetreni na vecsi cisla.. nebo pouzit tenhle vzorec kteremu nechapu .. :)

$ln x \approx \frac{\Pi}{2M (1,4/S)} - m ln2$

nemohl by mi ho nekdo vysvetlit prosim? nasel sem si i definici M.. ale nevim jak to celkove pouzivat..

Olin · 31. 10. 2008 12:28

Předpokládám, že ten vzorec máš z Wikipedie, přesně tento jsem kdysi použil. Vtip je v tom, že ta hodnota se blíží hodnotě přirozeného logaritmu tím víc, čím je větší m.

Jediný problém, který tam je, je výpočet aritmeticko-geometrického průměru M. Ten dokážeš stanovit taky pouze přibližně. Metoda je následující:

Počítejme $M(a, b)$ . Označme $a_0 = a,\, b_0 = b$ . Další hodnoty určíme rekurentně jako
$a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}\nl b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}$

Pro vysoké n (tj. po dostatečném počtu iterací) platí
$M(a, b) \approx a_n \approx b_n$ .

Joukieee · 31. 10. 2008 12:49

a co znamena to male m? co dosadit do a co do b? :)
Vim ze $S = x^{2m} > x^{p/2}$ ale taky nechapu co tam dela ten znak $>$
nevim jak ho pri vypoctu pouzit.. :)

Olin · 31. 10. 2008 12:57

Malé m - zjednodušeně řečeno platí, že čím vyšší m, tím je výsledek přesnější. A pozor, je to $s = x 2^m$ , dvojka je základ, ne v exponentu.

Za a dosadíš 1, za b 4/s.

Joukieee · 31. 10. 2008 13:03

oukaa uz chapu dekuju moc :)

Zitamo · 12. 11. 2010 19:55 — Editoval Zitamo (12. 11. 2010 19:56)

Marian, neměl bys někde aji podobný vzorec pro dekadický logaritmus? Respektive pro $log_ax$
Taky řešený pomocí rekurze

Matematické Fórum

#1 25. 10. 2008 12:05

tanges a prirozeny logaritmus..

#2 25. 10. 2008 12:36

Re: tanges a prirozeny logaritmus..

#3 25. 10. 2008 12:48 — Editoval Marian (25. 10. 2008 12:54)

Re: tanges a prirozeny logaritmus..

#4 25. 10. 2008 14:20

Re: tanges a prirozeny logaritmus..

#5 25. 10. 2008 14:48 — Editoval Marian (25. 10. 2008 14:51)

Re: tanges a prirozeny logaritmus..

#6 25. 10. 2008 15:03 — Editoval Joukieee (25. 10. 2008 15:06)

Re: tanges a prirozeny logaritmus..

#7 27. 10. 2008 13:45

Re: tanges a prirozeny logaritmus..

#8 27. 10. 2008 14:13

Re: tanges a prirozeny logaritmus..

#9 29. 10. 2008 22:19

Re: tanges a prirozeny logaritmus..

#10 31. 10. 2008 11:59

Re: tanges a prirozeny logaritmus..

#11 31. 10. 2008 12:28

Re: tanges a prirozeny logaritmus..

#12 31. 10. 2008 12:49

Re: tanges a prirozeny logaritmus..

#13 31. 10. 2008 12:57

Re: tanges a prirozeny logaritmus..

#14 31. 10. 2008 13:03

Re: tanges a prirozeny logaritmus..

#15 12. 11. 2010 19:55 — Editoval Zitamo (12. 11. 2010 19:56)

Re: tanges a prirozeny logaritmus..

Zápatí