Matematické Fórum

Fhact0r

Billiardový stůl má tvar pravoúhlého trojúhelníku s kratší odvěsnou délky 6 stop, jejíž protilehlý úhel má velikost 30°. (Stůl je tedy polovina rovnostranného trojúhelníku.) Z tohoto rohu je po těžnici odehrána koule (hmotný bod), která se odráží od stěn podle pravidla úhel dopadu je roven úhlu odrazu. Dokažte, že po osmi odrazech koule přijde přesně do rohu s úhlem 60°.

Nakreslil sem si to v GeoGebre, ale nejak na to nemuzu dojit. Nejakej hint? Dik moc.

Fhact0r · 13. 11. 2010 16:03

Takze nic jo? :/

BakyX · 13. 11. 2010 16:09

Zrejme sa to dá pomocou uhlou..Musíš si doplniť každý jeden uhol a potom na základe toho, že tam máš viac pravouhlých trojuholníkov, tak nájsť nejaký pravivý vzťah. Začni so všetkými uhlami..Tá úloha je zaujímavá

pietro · 13. 11. 2010 17:44

↑ Fhact0r:Mám nápad ako na to, ale to je otročina. Pomocou analytickej geometrie 8 x opakovane vypočítavať . Včetky parametre sú presne zadané, priamky aj východzí bod.
Štart: bod B, rovnica ťažnice priesečník s AC, zistiť uhol dopadu, nastaviť uhol odrazu, vyrátať priamku odrazu, urobiť priesečník s BC, zistiť uhol dopadu, ....atď... :-) až do úspešného konca.

Fhact0r · 13. 11. 2010 18:17

↑ pietro:
Taky me to napadlo, ale je to fakt morda. A vzhledem k tomu, ze nas profesor takove "otrocke" typy prikladu temer vubec nedava, si myslim, ze existuje i "elegantnejsi" reseni. Ale kdyz do pondeli na nic nedojdu, tak nemam na vyber.

Mikulas · 13. 11. 2010 19:21

Zdravím,
Napadlo mě tohle:
Pokud S je střed strany AC, pak délka AS je 3 cm, úhel ABS je alfa, úhel ASB je beta, x je délka AB a y je délka BS, pak platí:
$sin\alpha = \frac{3}{y}$
$tg\alpha = \frac{3}{x}$
$sin\beta = \frac{x}{y}$
$tg\beta = \frac{x}{3}$
Snad by to šlo vyřešit a získat úhel alfa.

jelena · 14. 11. 2010 10:49

Zdravím vás,

zkoušela jsem použit osovou souměrnost a nahradit složení osových souměrnosti jiným zobrazením, snad se mi podařilo - rotace o +60 stupňů se středem v bodě B, ale zdá se z toho dá odvodit, že to je 8 odrazů, to se mi nepovedlo.

V GeoGebře by to mělo jit tak, že k trojúhelníku přikreslím ještě jeden nahoru (přepona k přeponě), jeden dolu (dlouhá odvesná k dlouhé odvesné) (vznikne rovnostranný trojúhelník zmiňovaný v zadání) a k tomu ješt ještě jeden dolu - přepona k přeponě. Vznikne takový diamant (je v něm dobře vidět úhly, ale zda to pomůže, to nevím).

trojuhelniky se dají také naskládat za sebou (od zadaného doleva zdcadlově jeden k druhému), aby se paprsek nelámal, ale vytvořil jednu přímku, ale také nemám pocit, že by to pomohlo.

↑ Fhact0r: kterou látku berete, že je takové zadání? Děkuji.

Fhact0r · 14. 11. 2010 16:35

↑ jelena:
Ted bereme komplexni cisla, ale to je jedno. My dostavame kazde 2 tydny 4 ulohy (na doma), ze kterych je temer vzdy pouze 1 z aktualniho uciva a dalsi 3 jsou "nahodne" (polynomicke funkce, slovni ulohy, geometrie, cokoliv co jsme nekdy brali...). A prave jedna z tech 3 je tato.

jelena · 14. 11. 2010 23:14

↑ Fhact0r: děkuji, bohužel, nemám žádný jiný nápad a zřejmě to už budete zítra odevzdávat.

Snad pomůže nápověda od kolegů na "hrubou sílu", děkuji.

Fhact0r · 28. 11. 2010 20:28

Vracim se k tomuto tematu, protoze mne o to mnozi z vas zadali. Bohuzel, stejne jako vy jsem na nic nedosel a 8-krat vypocitavat body a uhly dopadu analyzou, bylo na mne moc i vzhledem k casove tisni ve ktere sem byl. Ve skole jsme tento priklad neprobirali (a asi uz ani nebudeme), ale pokud chcete, moh by se nasho profesora zkusit zeptat jak na to.

Spybot · 28. 11. 2010 21:47

No, minimalne ja by som Ti v tom pripade bol vdacny. Ak mozes, opytaj sa. Asi treba na jednoduche vyriesenie tejto ulohy prist na nejaky trik, a triky sa oplati poznat.

jelena · 13. 11. 2012 00:21

Zdravím, na doporučení kolegy vanka obnovuji tuto nedořešenou úlohu.

Pokud se nezapojíte do řešení, můžete o billiardu (a nejen) i zde. Děkuji.

Honzc · 14. 11. 2012 10:11 — Editoval Honzc (14. 11. 2012 14:54)

↑ jelena:
Zdravím,
tak tedy pokus o důkaz.
Pro jednoduchost položme $|AC|=1$ a pak dle zadání bude $|AB|=\sqrt{3}$
Dále označme úhel těžnice na stranu $|AC|$ od strany $|AB|$ jako $\alpha$
(viz obrázek)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Nyní rozdělme stranu $|AB|$ na 7 dílů, vzdálenost prvního úseku ( $|AX|$ ) bude tedy
$x=\frac{\sqrt{3}}{7}$ Spojme bod C s bodem X. (červená úsečka)
Nyní dokážeme, že tato úsečka je shodná s posledním úsekem dráhy koule.
Vyjádříme $\text{tg}\alpha =\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$
Podle dráhy koule jednoduše postupně vyjádříme jednotlivé úhly (v obrázku jsou jednotlivé velikosti úhlů očíslovány od 1. do 21. v pořadí odrážející se koule)
Nyní se zaměříme na poslední odraz - viz. trojúhelník $AXC$
Předpokládejme nyní, že poslední odraz směřuje do bodu C.
Pak $\text{tg}(30^\circ -\alpha )=\frac{x}{1}\Rightarrow x=\text{tg}(30^\circ -\alpha )$
S využitím rozdílového vzorce pro tangens a s využitím $\text{tg}\alpha =\frac{1}{2\sqrt{3}}$ máme:
$x=\text{tg}(30^\circ -\alpha )=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}\frac{\sqrt{3}}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{7}$
a to odpovídá našemu předpokladu pro velikost úsečky $x=|AX|=\frac{\sqrt{3}}{7}$
Pokud by koule nemířila do bodu C, pak by i vzdálenost $|AX|\ne x$
Toť vše.
Po editaci:
Poznámka: Poslední odraz koule nebude ani náhodou pod úhlem $60^\circ$

vanok · 14. 11. 2012 11:10 — Editoval vanok (14. 11. 2012 11:12)

Pozdravujem ↑ jelena:,
Mne sa zda, ze najcitatelnejsie je riesenie vdaka osovym symetriam.( co sa mi zda dolezite, najma na urovni strednej skoly)
Navrhujem tento postup:
narysovat takuto figuru:
1° trojuholnik $ABC$
2° pridat trojuholnik $ABC_2$ (symetricky trojuholnik trojuholnika $ABC$ podla strany $AB$ )
3°pridat trojuholnik $A_3BC_2$ (symetricky trojuholnik trojuholnika $ABC_2$ podla strany $BC_2$ )

vlatne symetrie su urcene bodmy odrazu.... 8 symetrii....co nam vytvori figuru vytvorenu 9 trojuholnikmy

Obraz trasy je usecka medzi $B$ a jeho poslednym obrazom $B_9$ .

Vdaka tejto figure sa velmi jednoducho dokaze otazka z cvicenia.