Matematické Fórum

Nich · 17. 11. 2010 16:04

Zdravím, vytvářím funkci (programuji) pro hyperbolický tangens. A po pár testech jsem zjistil, že funkce tanh(x) pro x > 12 je pořád 1. Ale nevím jak to matematicky dokázat. Potřebuji napsat důkaz, že pro x > 12 a x < -12 , tanh(x) = +-1.

Jediné co mě napadá k tomu odůvodnění je, že funkce tanh(x) je na celém svém intervalu rostoucí a spojitá tudíž pokud je pro +-12 hodnota +-1, tak pro větší a menší x tomu tak taky bude, ale myslím, že by mi to asi nebylo uznáno :-) .
Mohli byste prosím někdo poradit jak na to?
Předem děkuji za jakoukoli odpověď.

lukaszh · 17. 11. 2010 16:12

↑ Nich:

No tak to sa nedá ukázať, pretože to nie je pravda.

Nich · 17. 11. 2010 16:21

No a jde tedy vytyčit nějaký interval pro x, kde hodnota funkce je už konstantní? Příjde mi zbytečné aby funkce počítala tanh(4e250), když to stejně výjde 1.

FailED · 17. 11. 2010 16:51

↑ Nich:

Funkce je rostoucí na celém svém definičním oboru.

Pro x>12 je tanh(x) větší než $1-10^{-10}$ .

Marian · 17. 11. 2010 17:07 — Editoval Marian (17. 11. 2010 17:08)

Z definice hyperbolického tangens je zřejmé, že platí

$\tanh (x):=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}=1-\frac{2\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}.$

Odtud je patrné, že

$\lim_{x\to +\infty}\qquad\tanh (x)=1.$

Ovšem o konstantntosti pro $x>12$ nemůže být vůbec řeč (to je opět velmi dobře vidět z přepisu funkce $\tanh (x)$ výše).

Je možné, že se ti do úvah vloudily nějaké zaokrouhlovací chyby.