Matematické Fórum

lukas · 14. 11. 2010 19:35 — Editoval lukas (17. 11. 2010 09:12)

prosím o pomoc s příkladem: sílu F=20kN se směrovým úhlem 45° a působištěm M (1,4) rozložit do 3 složek
F1: m1=(0.2)α1=0°, F2:m2=(1,-5)α2=70°, F3:m3(-1,5)α3=90°, nevím jak na početní řešení?

jelena · 17. 11. 2010 10:31

↑ lukas:

Zdravím,

zadanou sílu F rozložiš do směrů pro ose x a po ose y a vypočteš rozkladné složky F_x, F_y. U ostatních síl naznačíš jeji působíště, směr a také rozkladové osy x, y (F1, F3 jsou již přímo na osách). Je třeba prodloužit jednotlivé přímky os tak, aby měly páty na stejné přímce, jak jsou osy x, y pro F.

Potom sestaviš momentovou větu k ose otáčení (pata síly F) ve směru osy x, ve směru osy y a výslednici (součet rozkladných složek síl) ve směru osy x a osy y.

Tak bude úloha převedena na rovnoběžné síly, co jsme spolu řešili (jen samostatně po ose x, po ose y). Omlouvám se, nevšimla jsem, že jsi už předchozí úlohu označil za vyřešenou (myslela jsem, že mé doporučení nepomohlo, když nebyla žádná reakce).

Stačí tak na úvod? Děkuji.

lukas · 17. 11. 2010 11:03

↑ jelena:
děkuji za pomoc, ale pořád nechápu to převedení na rovnoběžné síly

jelena · 17. 11. 2010 11:25

↑ lukas:

je třeba zakreslit něco podobného (ale hezčí) - přesně dle tvého zadání (mám to jen náznak). Je to srozumitelné. Momentové věty budeš sestavovat k bodu O, samostatně pro x (ramena x...) a pro y (ramena y...).

lukas · 17. 11. 2010 13:11

nechápu ten nákres, když si to nakreslím vypadá to takhle:
http://www.sdilej.eu/pics/29f0a1928d58a … 2fb36c.JPG

jelena · 17. 11. 2010 14:16

↑ lukas:

Zvolila jsem za osu otáčení počátek souřádnic (0,0) a všechno jsem zkreslila k počátku - viz Obrázek. Na ose y nemám popísky pro ramena. Moc se omlouvám za kvalitu, bohužel nemám teď čas, ani možnost vyrobit něco lepší (ano by to o moc lepší nebylo).

Snad se v tom vyznáš. Případně se ozví.

lukas · 17. 11. 2010 15:48

↑ jelena:
teď jsem z toho úplný jelen, nešlo by ještě nějak poradit.

jelena · 17. 11. 2010 16:05

↑ lukas:

- dělali jste podobnou úlohu ve škole?

- umíš sestavit momentovou větu ke zvolené ose (tá prochází kolmo monitoru, tedy nás zajímá bod O)?

Co konkrétně je problém? Já se opravdu omlouvám za kvalitu obrázku - pokud ten je problém, těžko to ovlivním - dokreslí, prosím, svůj. Děkuji.

lukas · 17. 11. 2010 16:11

problém je asi sestavení momentové věty k bodu 0

jelena · 17. 11. 2010 18:33

↑ lukas:

ramena na ose x: $F_3\cdot x_{F3}-F_y\cdot x_{F}-F_{2y}\cdot x_{F2}=0$

podobně pro ramena po ose y.

lukas · 18. 11. 2010 23:57

↑ jelena:
dobře, ale mám soustavu 2 rovnic o 3 neznámých? jak dál?

jelena · 19. 11. 2010 00:03

↑ lukas:

proč 3 neznámé?

prostřední síla v mém zápisu Fy (je ze zadání) se vypočte z rozkladu F=20 kN (působí pod úhlem 45 stupňů).

lukas · 19. 11. 2010 07:52

prosím šlo by ukázat teda tu výslednou rovnici, nevím jak určit velikost f1,f2 a f3

jelena · 19. 11. 2010 09:44 — Editoval jelena (19. 11. 2010 11:06)

F je zadáno, rozklad F na složky x, y: $F_x=F\cos 45^{\circ}$ , $F_y=F\sin 45^{\circ}$ tu vypočteš číselně.

Podobný rozklad i pro silu F2, tu sice rozložiš, ale jednotlivé rozkladné složky najdeš v dalším řešení.

Sily F1, F3 maji pouze jednu složku.

Soustava rovnic pro směr y:
momentová věta pro ramena umístěna na ose x (tedy síly mají směry osy y):

$F_3\cdot x_{F3}-F_y\cdot x_{F}-F_{2y}\cdot x_{F2}=0$

Výslednice síl $F_y=F_3+F_{2y}$

F_y není neznámá, je to číslo.

Podobně pro osu x. V pořádku? Děkuji.

Rumburak

Nebo třeba následovně (čistě analyticky):

Označme $O\,=\,[0,\,0]$ ,
$A \,=\, [0,\, 2]$ , $\vec{a}=(1,\,0)$ ,
$B \,=\, [1,-5]$ , $\vec{b}=(\cos70^{\circ}, \,\sin70^{\circ})$ ,
$C \,=\, [-1,\,5]$ , $\vec{c}=(0,\,1)$ ,
$D \,=\, [1,\,4]$ , $\vec{d}=(\cos45^{\circ}, \,\sin45^{\circ})$ .

Máme dánu sílu $\vec{F}$ působící v bodě D ve směru vektoru $\vec{d}$ a máme za úkol rozložit ji na 3 síly
$\vec{F_A}$ působící v bodě A ve směru vektoru $\vec{a}$ ,
$\vec{F_B}$ působící v bodě B ve směru vektoru $\vec{b}$ ,
$\vec{F_C}$ působící v bodě C ve směru vektoru $\vec{c}$
tak, aby zůstal zachován pohybový účinek.

Označme dále $x=\|\vec{F_A}\|$ , $y=\|\vec{F_B}\|$ , $z=\|\vec{F_C}\|$ , což jsou neznámé, které máme dopočítat.

Především musí být splněna rovnice $\vec{F_A}\, +\,\vec{F_B}\,+\,\vec{F_C}\,=\,\vec{F}$ , neboli $x\cdot\vec{a}\, +\,y\cdot\vec{b}\,+\,z\cdot\vec{c}\,=\,\|\vec{F}\|\cdot\vec{d}$ .

To je vektorová rovnice, z níž získáme (rozepsáním po složkách) soustavu dvou rovnic o třech neznámých.

Potřebujeme ještě třetí rovnici, tu obdržíme z momentové věty :

(M) $(A-O)\times \vec{F_A}\,+\,(B-O)\times \vec{F_B}\,+\,(C-O)\times \vec{F_C}\,= \,(D-O)\times \vec{F}$ .

Bude zde potřeba zbavit se vektorových součinů. Přípomeňme si vektorový součin v $\math{R}^3$ :

$(u_1, \,u_2, \,u_3)\times(v_1, \,v_2, \,v_3)=\|u_1, \,u_2, \,u_3\nlv_1, \,\,v_2, \,\,v_3\nl\,\vec{i}, \,\,\,\,\,\,\vec{j}, \,\,\,\,\,\,\vec{k}\|$ ,

speciálně pro $u_3=v_3 = 0$ (což je případ našeho rovinného problému) tedy máme

$(u_1, \,u_2, \,0)\times(v_1, \,v_2, \,0)=\|u_1, \,u_2, \,0\nlv_1, \,\,v_2, \,\,0\nl\,\vec{i}, \,\,\,\,\,\,\vec{j}, \,\,\,\,\,\,\vec{k}\| =\|u_1, \,u_2\nlv_1,\, \,v_2\|\vec{k}$ .

Pomocí tohoto vzorce pak upravíme rovnici (M), jejíž všechny členy jsou násobky vektoru $\vec{k}$ , a převedeme ji na rovnici skalární.

EDIT. Původně jsem v rovnici (M) popletl ta ramena sil , už je to opraveno.