Matematické Fórum

zlamal89 · 16. 11. 2010 15:13

Mám zadán projekt č3.
Kombinatorika
Na šachovnici postavíme dvě dámy na dvě různá náhodně vybraná pole.

a) Jaká je pravděpodobnost, že se dámy budou ohrožovat?
b) Úlohy zobecníme na šachovnici n × n polí pro n sudé. Jaká je pravděpodobnost, že se dvě dámy budou ohrožovat?
c) Úlohy zobecníme na šachovnici n × n polí pro obecné n. Jaká je pravděpodobnost, že se dvě dámy budou ohrožovat?

A) by to mela byt pouze kombinace C(32,2)+C(32,2) add 2x protoze jednou musi byt obe damy na bilem a podruhe na cernem poli?
B) to same co u A) az nato ze budu scitat pouze pole 2x2,2x4,2x6,2x8,4x2,4x4,4x6,4x8 atd. takze budu scitat C(2,2)+C(2,4)+C......?
C) a tady si nejsem vubec jisty jak to pocitat...

petrkovar · 16. 11. 2010 15:42

↑ zlamal89:Ne, dámy mohou být na libovolném poli (barvu ctí jen střelci).

kotipelto

Co třeba takhle:
a)
Při bližším zkoumání jsem zjistil, že na šachovnici 8x8 exituje:
28 polí takových, kdy dáma pokrývá 21 polí
20 takových, kdy dáma pokrývá 23 polí
12 takových, kdy dáma pokrývá 25 polí
a 4 pole taková, kdy dáma pokrývá 27 polí
Při výpočtu průměrné hodnoty "pokrytí dámy" E(A)
Nejdříve vložíme první dámu do pole s průměrným pokrytím E(A) polí na libovolné pole s pravděpodobností 1/64.
Po té druhou dámu s pravděpodobností 1/63. A pravděpodobnost, že první dáma ohrožuje druhou, by měla být právě
ta, kdy vkládám druhou dámu do nebezpečné zóny E(A) polí. Čili 1/63 * E(A) = E(A)/63.
b,c)
Jen zobecnit pozorování z příkladu a.

petrkovar · 18. 11. 2010 12:55

Jen pozor na správné používání termínu "průměrná" a "střední" hodnota.

shit · 22. 11. 2010 16:48

takže, jestli počítám správně, tak správná odpověď je 24, OK?

petrkovar · 22. 11. 2010 21:13

Pravděpodobnost 24? To snad ne...

ferrad · 23. 11. 2010 18:35

Zdravím

já došel se svým výpočtem k výsledku pro šachovnici 8x8 -> 0.3611 což by žřejmě asi mělo odpovídat, když šachovnice 2x2 má pravděpodobnost 1.
Výpočet je ve tvaru zlomku s jednou sumou a chtěl jsem se zeptat v jakém tvaru by to mělo být

petrkovar · 23. 11. 2010 21:00

↑ ferrad:Výsledek lze upravit tak, aby v něm nebyla suma. Sumu (i pro obecné n) lze zjednodušit na jedíný zlomek.

kotipelto

Já došel ke stejnému výsledku jako kolega (ferrad), avšak vyšel mi zlomek s celkem pekelnou sumou, který snad ani zjednodušit nejde :-)

petrkovar · 24. 11. 2010 12:21

↑ kotipelto:Suma zjednodušit jde. Jen se musí využít zámé vztahy (dělali jsme na cvičení) pro $\sum_{i=1}^{n} i$ a $\sum_{i=1}^{n} i^2$ .

kotipelto

Jo, neuvědomil jsem si, že suma polynomu lze rozdělit na sumu každého členu zvlášť... Ještě jsem se chtěl zeptat, zda pro úplné zobecnění (pro obecné n) stačí přidat k n/2 horní celou část tohoto výrazu, protože pro liché číslo by n/2 bylo necelé číslo. V pozorování, kdy jsem si to zkoušel zobrazit pro různé liché n to tak vycházelo.. Stačí dokázat toto tvrzení slovně, nebo matematickým důkazem ?

petrkovar · 25. 11. 2010 07:40

↑ kotipelto:Nerozumím otázce.
Důkaz je něco jiného než "silné přesvědčení" a "zbožné přání" ale také inež "platné ale nedokázané tvrzení".

shit · 26. 11. 2010 11:51

neexistuje nějaké univerzální pravidlo, které by se dalo v tomto příkladě použít? něco jako u pravděpodobnosti hodu dvou stejných čísel na kostkách?

Martin

shit · 26. 11. 2010 20:15

děkuji za částečné vysvětlení uvedeného problému Kotipeltovi a Ferradovi. Vážím si toho, že se snažili vysvětlit nebo nakopnout správným směrem. Bohužel na kombinovaném studiu s dvěmi dětmi není toho času tolik a ještě, když zaměstnavatel požaduje vysokou školu, i když je nepoužitelná v praxi v mém oboru, tak to k motivaci nepřidá. Každopádně děkuju a budu doufat, že na správný postup včas přijdu.

Martin

Kondr · 26. 11. 2010 20:53

↑ shit: Nehledal bych vzorce, spíš se pokusil použít osvědčené "rozděl a panuj" -- rozdělit stavy, kdy se dámy ohrožují na ty, kdy
1) stojí ve stejném řádku
2) ve stejném sloupci
3) na stejné úhlopříčce.
Úlohy 1) a ž 3) jsou snadnější než původní (ve 3) se využijí výše zmíněné sumy).

Jen mimochodem ... jaký je to obor, ve kterém je daná VŠ nepoužitelná?

polepe · 28. 11. 2010 16:15

ferrad: nebo kotipelto: muzete prosim upresnit jak jste dosli k tomu vysledku pravdepodobnosti 0.3611? Napsat vzorec. Diky moc

polepe · 28. 11. 2010 16:57

↑ Kondr: muzes pls napsat vzorec jak se dojde k te celkove pravdepodobni na sachovnici 8x8 (vysledek ma byt 0.3611) Diky MOC !!!

Kondr · 28. 11. 2010 17:03

↑ polepe: To by ti pak řešení tohoto projektu nepřineslo žádnou zábavu.

polepe · 28. 11. 2010 17:32

↑ Kondr: Aha :D dik :D Jdu se bavit :D

kotipelto

Dobrý den,
Narazil jsem na problém, který jsem si uvědomil, a to že při poli NxN, kdy n je liché. Mě v mém vztahu vždy nadbývá jedno (prostřední) pole. Vymyslel jsem způsob jak to vyřešit vzorec + 1 * ( n mod 2) * počet polí, které ohrožuje dáma (odvozeno vzorcem).Tzn. při lichém (n mod 2 = 1) se přičte a při sudém ne. Nevím však, zda toto řešení je vhodné (myslím to modulo). :-)

petrkovar · 02. 12. 2010 16:43

↑ kotipelto:Asi ano, ale možná se zbytečně trápíte.
Stačí mi jeden vzorec pro n liché a druhý pro n sudé. Sice existuje vzorec pro obě varianty společný, ale smyslem příkladu je správně pojmout kombinatorickou úvahu, což dva vzorce splní dostatečně.

kotipelto · 04. 12. 2010 12:56

↑ polepe: vypočti si střední hodnotu, hodnoty máš v 3tím přizpěvku. Je to pouhé dosazení do vzorce. Potom pravděpodobnost je E(A) / 63. Víc už poradit nemůžu.

Matematické Fórum

#1 16. 11. 2010 15:13

kombinatorika projekt3

#2 16. 11. 2010 15:42

Re: kombinatorika projekt3

#3 18. 11. 2010 00:59 — Editoval kotipelto (18. 11. 2010 01:16)

Re: kombinatorika projekt3

#4 18. 11. 2010 12:55

Re: kombinatorika projekt3

#5 22. 11. 2010 16:48

Re: kombinatorika projekt3

#6 22. 11. 2010 21:13

Re: kombinatorika projekt3

#7 23. 11. 2010 18:35

Re: kombinatorika projekt3

#8 23. 11. 2010 21:00

Re: kombinatorika projekt3

#9 24. 11. 2010 00:25 — Editoval kotipelto (24. 11. 2010 00:26)

Re: kombinatorika projekt3

#10 24. 11. 2010 12:21

Re: kombinatorika projekt3

#11 25. 11. 2010 00:07 — Editoval kotipelto (25. 11. 2010 00:52)

Re: kombinatorika projekt3

#12 25. 11. 2010 07:40

Re: kombinatorika projekt3

#13 26. 11. 2010 11:51

Re: kombinatorika projekt3

#14 26. 11. 2010 20:15

Re: kombinatorika projekt3

#15 26. 11. 2010 20:53

Re: kombinatorika projekt3

#16 28. 11. 2010 16:15

Re: kombinatorika projekt3

#17 28. 11. 2010 16:57

Re: kombinatorika projekt3

#18 28. 11. 2010 17:03

Re: kombinatorika projekt3

#19 28. 11. 2010 17:32

Re: kombinatorika projekt3

#20 02. 12. 2010 11:52 — Editoval kotipelto (02. 12. 2010 11:56)

Re: kombinatorika projekt3

#21 02. 12. 2010 16:43

Re: kombinatorika projekt3

#22 04. 12. 2010 12:56

Re: kombinatorika projekt3

Zápatí