Matematické Fórum

312k1t · 19. 11. 2010 22:17

Potřeboval bych nakopnout, jak se dostat z jedné diferenciální rovnice 2.řádu na diferenciální rovnice 1.řádu.
Jedná se o rovnici popisující závaží na pružině:
$m \frac{d^2s}{dt^2} = -ks$

Výsledkem by měly být 2 dif. r-ce 1.řádu:
$\frac{ds}{dt} = v$

$\frac{dv}{dt} = -\frac{k}{m}s$

Potřeboval bych pochopit postup jak se dopracovat k výsledku.

Pavel Brožek · 19. 11. 2010 23:18

Vztahem $\frac{ds}{dt} = v$ se zavede rychlost (rychlost je pro nás pak druhá funkce času v soustavě diferenciálních rovnic). Protože druhá derivace polohy je to samé jako první derivace první derivace polohy ( $\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$$ ), tak můžeme první derivaci polohy nahradit rychlostí v.

Pavel Brožek · 19. 11. 2010 23:25

Mějme diferenciální rovnici řádu n pro funkci y(x):

$f(y^{(n)}(x),y^{(n-1)}(x),\ldots,y''(x),y'(x),y(x))=0$ ,

kde f je nějaká funkce n+1 proměnných. Pak můžeme definovat nové funkce

$u_1(x)=y'(x)\nl u_2(x)=u_1'(x)\nl \ldots\nl u_{n-1}(x)=u_{n-2}'(x)$ ,

ty dosadíme do diferenciální rovnice a dostaneme tak rovnici

$f(u_{n-1}'(x),u_{n-1}(x),\ldots,u_2(x),u_1(x),y(x))=0$ .

Tahle rovnice spolu s definicemi funkcí u tvoří soustavu n diferenciálních rovnic prvního řádu pro n funkcí $y,u_1,\ldots, u_{n-1}$ .

Matematické Fórum

#1 19. 11. 2010 22:17

Převod dif. r-ce 2.řádu na dif. r-ce 1.řádu

#2 19. 11. 2010 23:18

Re: Převod dif. r-ce 2.řádu na dif. r-ce 1.řádu

#3 19. 11. 2010 23:25

Re: Převod dif. r-ce 2.řádu na dif. r-ce 1.řádu

Zápatí