Matematické Fórum

1) (-oo,oo)
2) y = [0,30]
3) x = [5,0][-3,0]
4) maximum je v bodě [0,30]
5)vodorovná asymptota
6) není sudá, není lichá
7) rostoucí v (-oo,0) klesající v (0,oo)
8) shora je omezená y = 30, zdola není omezená
9) není periodická
10) není prostá
11)?
12) celá konkávní (intervaly?)
13)?
14) je spojitá

↑ Peppy:
Si si istý tou 7) ?

↑ Peppy:

Protože ta funkce se neotáčí v nule, ale mimo ni. Matematicky, maximum není v bodě x = 0.

Vzhledem k tomu, že se mají vyšetřovat i takové věci jako konvexnost/konkávnost a inflexní body, asi to bude nějaké cvičení na derivaci. Z derivace se snadno určí, kde má fce maximum i kde roste a klesá.

↑ kubinox:
Spočítal jsi derivaci té funkce? Je problém poznat z derivace odpovědi či je problém s derivací samotnou? (Nebo to dokonce není příklad na derivování?)

↑ Peppy:

Sedmička se dá spočítat i bez derivování. Problém je v tom, že zřejmě uvažuješ parabolu, která je symetrická podle osy y -- to ovšem není případ téhle funkce.

Když to chceš určovat z grafu, tak to de třeba takhle: . Z tohohle tvaru by už mělo být vidět, že se jedná o parabolu otočenou vzhůru nohama, co má "dvojnásobné sevření", je posunutá doprava o jednu jednotku a nahoru o 32 jednotek.

Z toho posunutí vpravo je vidět, že se otáčí v bodě x = 1, tedy je rostoucí na intervalu (-oo, 1) a klesající na (1, oo).

↑ kubinox:

Intervaly z toho poznáš. Funkce je konkávní na intervalu (a, b) když pro každé x z intervalu (a, b) platí f''(x) < 0. Zajímá tě tedy největší takový interval, na kterém je druhá derivace záporná. Protože druhá derivace téhle funkce je úplně všude rovna -4, tak už z toho můžeš říct, že funkce je konkávní na celém R.

Funkce má maximum v bodě x, pokud platí f'(x) = 0 a f''(x) < 0. Podobně minimum v bodě x, pokud f'(x) = 0 a f''(x) > 0. Funkce je rostoucí na intervalu (a, b) pokud pro každé x z (a, b) je f'(x) > 0 a klesající na (a, b), pokud pro každé x z (a, b) je f'(x) < 0.

Jde tedy vlastně o řešení rovnic případně nerovnic. Pošoupl sem tě teď trošku blíž k řešení?

↑ kubinox:

Je to správně.

Vemu to od konce. Bod x je inflexním bodem, když je f''(x) = 0.

Aby k funkci f existovala funkce inverzní, musí být f prostá. Víš co je prostá funkce? Umíš to určit třeba z jejího grafu?

Osmičku sám moc nechápu. Ta funkce celá je omezená shora (nikdy nepřeleze svoje maximum). Na druhou stranu, když si vemu libovolnej interval, tak na něm je ta funkce omezená taky (maximální a minimální hodnotou na tomhle intervalu (případně jenom maximální, pokud je to interval (-oo, a) nebo (a, +oo))).

↑ kubinox:
Přesně tak. Symbolicky se prostost (nebo prostota?) vyjadřuje tak, že je-li x různé od y, pak musí být f(x) různé od f(y). Což odpovídá tomu vodorovnému protínání grafu. Jestli teda chceš odůvodnit, že f není prostá nějak formálně, dá se ukázat třeba na to, že f(0) = f(2) i když 0 se nerovná 2.

A ano, inverzní funkci bys našel tak, že přeznačíš x <> y a pak vyjádříš y v závislosti na x. (Tj. dostaneš se na tvar y = ...)