Matematické Fórum

pietro · 12. 11. 2010 15:11

Neriešilo ? sa tu na fóre prosím niečo také ? ako:
Vyvŕtame cez celú napr. Zem tunel až ku protinožcom a vypustíme do neho kameň. Aké budú parametre dráhy v závislosti na čase? Gravitačné pôsobenie Zeme nech je sústredené výlučne do jedného budu v strede tunela a Zeme. Ostatné sily nech neexistujú.
Myslel som, že je to jednoduché a kameň bude oscilovať, aby sa zachovala energia.
Keď som to riešil difer. rovnicou, výsledky boli v hrozne komplikovanom tvare... s použitím errf.
Potom som si to simuloval po malých krokoch ( delta t), kde som považoval zrýchlenie za konštantné ( v malom kroku). V blízkosti stredu Zeme však teleso začalo naberať takú obrovskú rýchlosť,že by bolo určite vyvrhnuté do priestoru a unikalo by do nekonečna.
Poraďte prosím. Ďakujem.

Pavel Brožek · 12. 11. 2010 15:20

↑ pietro:

Soustředit veškerou hmotu do jednoho bodu uprostřed Země absolutně neodpovídá reálné situaci. V reálu se totiž síla od všech částí Země v okolí středu Země téměř vyruší, je tam tedy prakticky nulová gravitace. V tvém případě ale u středu Země roste gravitační síla do nekonečna. Tvůj předpoklad tak není zjednodušující, ale zesložiťující :-).

Gravitační potenciál uvnitř Země má tvar, který je uveden zde, dá se odvodit z Gaussovy věty. Sílu získáš jeho derivací.

zdenek1 · 12. 11. 2010 16:08

↑ pietro:
Takže Země je homogenní nerotující koule s poloměrem $R_z$ a hmotností $M_z$ , $G$ je gravitační konstanta, v tunelu není tření.

1) Uvnitř kulové slupky na těleso kulová slupka gravitačně nepůsobí.
2) Takže když bude těleso hmotnosti $m$ ve vzdálenosti $r<R_z$ od středu, bude na něj působit gr. síla o velikosti $F=\frac{GmM}{r^2}$ , kde $M$ je hmotnost koule o poloměru $r$ .

$M=\frac43\pi r^3 \varrho$ , kde $\varrho=\frac{M_z}{\frac43\pi R_z^3}$ je hustota Země. Dosazením dostaneme

$F=\frac{Gm\frac43\pi r^3 \frac{M_z}{\frac43\pi R_z^3}}{r^2}=\frac{GmM_z}{R_z^3}r$

Takže $F$ je přímo úměrná výchylce $r$ a je orientovaná tak, že vrací těleso do rovnovážné polohy ve středu Země, takže se skutečné bude jednat o harmonický oscilátor a bude tedy platit

$m\omega^2 r=\frac{GmM_z}{R_z^3}r$ ,

$T=2\pi\sqrt{\frac{R_z^3}{GM_z}}$

číselně mi to vyšlo $T\approx 84 \mbox{min.}$

Z Prahy k protinožcům za třičtvrtě hodiny!!

pietro · 12. 11. 2010 17:03

Vzácni páni, ďakujem Vám veľmi pekne za poskytnuté riešenia, ktoré ma určite nasmerovali!
BrozekP : Musím si urobiť predstavu o priebehu gravitačného potenciálu Zeme a potom vyskladať potrebné.
zdenek1 : Obdivujem Tvoju stručnosť , výstižnosť, rýchlosť....

Tieto Vaše poznatky kým strávim svojím spôsobom tak protinožci prídu ku nám aj dvakrát :-).

Ešte raz Vám vďaka a pekný deň!

Idem si to rátať.

medvidek · 12. 11. 2010 18:31

↑ pietro:

Keď už budeš počítať, tak si to skús odvodiť i pre iný (priamy) tunel, ktorý neprechádza stredom Zeme. Mal by si dostať vždy rovnaký čas $T$ .
Evidentne tento spôsob dopravy nie je časovo výhodný na kratších trasách :-)

↑ zdenek1:
Z kuchyně do obýváku také za třičtvrtě hodiny ...

pietro · 12. 11. 2010 18:51

↑ medvidek:Ďakujem a určite vyskúšam, len keby bolo viac času na tieto vznešené témy.

pietro · 16. 11. 2010 16:30

Ahojte, Zem som rozdelil na cca 5120 rovnako hmotných bodov a sčítal som vektory intenzity na priamke vedúcej cez stred. Neviem to ale exaktne zintegrovať ( chcem sa vyhnúť potenciálu, ale to asi nepôjde). Takto zhruba mám prehľad o vektore intenzity vnútri gule a potom tam pustím hmotný bod. Tá krivka v intervale -1...1*Rzeme by mala byť derivácia potenciálu podľa r, teda vychádza priamka však? V(r)=(2/3)*pi*sigma*(r^2-3R^2)==>
zderiv=(4/3)*pi*sigma*r. Ďakujem.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

medvidek · 16. 11. 2010 21:35

Ahoj Pietro, to je hotová detektívka :o)

O čo ti vlasne šlo v poslednom príspevku? Numerickým modelom overiť závery odbornej autority ↑ zdenek1:?

Myslel som, že mám

... prehľad o vektore intenzity vnútri gule ...

, ale teraz už nie som si istý.

Pekný večer pri vznešených témach

pietro · 17. 11. 2010 11:49 — Editoval pietro (17. 11. 2010 12:02)

↑ medvidek:Pekný deň prajem!
Zdenek1, určil výsledok elegantne aj s postupom. Ty to tiež máš určite prerátané-pochopené. Chcel by som záver dosiahnuť aj inou cestou. ( Ja sám, ja sám.. ♀:-) Už som zvedavý ako mi to bude kmitať a potom skúsim iné trajektórie v Zemi. Pôvodne som mal na mysli oveľa menší objekt a riešenie prechodu hmotného telesa okolo neho (cez neho), že sú to tiež nie žiadne srandy a rovnice sú komplikované. Zatiaľ sa patlám s prechodom od diskrétnych tvarov ku kontinuálnym. Keď by sa dalo pozrieť a nakopnúť..
Vďaka!

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

A irituje ma, že taká univerzálna a všadeprítomá veličina akou je gravitácia je tu od veky vekov...a ja mám taký chabý kostrbatý matematický aparát..

medvidek · 18. 11. 2010 03:41

↑ pietro:
Mohol by ťa zaujímať dôkaz tvrdenia, z ktorého vyšiel ↑ zdenek1:

... Uvnitř kulové slupky na těleso kulová slupka gravitačně nepůsobí...

Tvoje snahy samozrejme chválim.
Niet nad vedomosti, na ktoré prídeme sami.

pietro · 18. 11. 2010 17:19

↑ medvidek:Pekne pozdravujem a ďakujem za poskytnutý podklad a Tvoju reakciu. Je to zaujímavé (Shell_teorém) , priam neuveriteľné. Musím naštudovať.
- Konečne pri rozdelení Zeme na 200 000 kúskov sa vnútro javí ako priamka g(r)=k*r ..približne..tie fluktuácie hmotnosti sú "strašne zákerné " a ovplyvňujú priebeh gravitácie vo vnútri tunela. To nám ale nemôže brániť :-) v integrácii ==> vyjadrení rýchlosti a ďalšej integrácii pre dosiahnute závislosti dráhy na čase.
Prikladám medzivýsledok

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

pietro · 20. 11. 2010 12:37

Ahojte, keď sa tak na to pozerám, kmitanie hmotného bodu v tuneli cez Zem je vlastne to isté ako kmitanie závažia na silomeri..F=-k*x

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Ešte bude zaujímavá oblasť prechodu v malom okolí povrchu Zeme (R +epsilon), kde sa mení jeden tvar funkcie na druhý ( g=-k*r ===> g=-K/r^2 )

pietro · 21. 11. 2010 12:30

Pozdravujem .

Prikladám aj priebeh "g" zvonku slupky,cez slupku a vnutri slupky o hmotnosti a veľkosti Zeme a hrúbky 0,05 Rzeme.

S veľkou pravdepodobnosťou ten Excel asi počíta dobre.

Už zostáva len ten šikmý tunel do Zeme pod 45 st. uhlom a časový priebeh dráhy vpustenej guličky.
( Potom až sa navŕtam z obývačky do kuchyne)

Neexistuje ? nejaký prenosný presný prístroj na meranie "g", tak by sme mali prehťad o skutočných zhusteniach hmoty v Zemi.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

medvidek · 22. 11. 2010 18:05

↑ pietro:
Ahoj. Vidím, že si pekne pokročil. Dávam Ti "+".
Prekopať byt bude pre Teba určite hračka.

Bohužiaľ požiadavky na prenosnosť a presnosť meracieho zariadenia vzájomne "nekomutujú".
Pokiaľ chceš zohnať niečo naozaj presné, obráť sa na niektorý geofyzikálny ústav či ťažobnú spoločnosť.
Ak to má byť prenosné, bude najlepšou voľbou Pentagon alebo NASA.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

pietro · 23. 11. 2010 11:22

↑ medvidek:Ďakujem Ti za povzbudenie!
To šikmé vŕtanie je pekná zaberačka pre mňa.
Prajem pekný deň!

pietro · 23. 11. 2010 17:50 — Editoval pietro (23. 11. 2010 17:52)

Ahojte, neviem si ináč pomôcť, ale vyšla mi takáto difer. rovnica. s(t) je vzdialenosť od ústia šikmo vŕtaného 45st. tunelu. :-(

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

..radšej kopať, ako riešiť...

Pavel Brožek · 23. 11. 2010 18:15

↑ pietro:

Dej si do počátku souřadnic střed Země o poloměru R. Pak z bodu $A[R\cos\varphi,R\sin\varphi,0]$ (úhel $\varphi$ parametrizuje, jak blízku středu tunel povede) vykopej přímý tunel do bodu $B[R\cos\varphi,-R\sin\varphi,0]$ . Řešil jsem pohyb vázaný na tento tunel. Vyšla mi diferenciální rovnice

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

pietro · 23. 11. 2010 18:38

↑ BrozekP:Veľmi krásna vďaka, toto ma nabudilo...

Pavel Brožek · 23. 11. 2010 18:39

Nabízí se otázka: jak vykopat tunel tak, abychom se z bodu A dostali do bodu B co nejrychleji? (Řešením této úlohy v homogenním gravitačním poli je brachystochrona. Bude řešení v našem sféricky symetrickém poli, kde přitažlivá síla směřující do středu roste lineárně se vzdáleností, těžší nebo lehčí? Zatím jsem nezkoušel.)

medvidek

Pekne napísané riešenie brachystochrony v gravitačnom poli v homogénnej guli je napríklad tu
Brachystochrone inside the Earth

Tiež k danej otázke:
Euler-Lagrange Equation (konkrétne v časti "Hypocycloid")
Sphere with Tunnel Brachistochrone (The Wolfram Demonstrations Project)

pietro · 24. 11. 2010 12:46

Numerické riešenie adekvátnej diferenčnej rovnice z príspevku č. #16 pre šikmý priamkový tunel pod 45 st. uhlom mi guličku na konci tunela nevracia... ale vystreľuje po 2484 sekundách( od začiatku ) rýchlosťou 347 m/s.. do ******
To musím poistiť ešte iným nezávislým postupom...

medvidek · 24. 11. 2010 20:00

↑ pietro:
Len pre kontrolu.
Rýchlosť uprostred šikmého (45°) tunelu by mala byť 5590 m/s.

A v prípade kolmého tunelu je to 7906 m/s, čo je prvá kozmická rýchlosť. Zaujímavé, že?

****** = vesmír ?

Ty v tej rovnici (príspevok #16) meriaš polohu telesa od povrchu Zeme? Nie je takáto nesymetria zbytočnou komplikáciou?

pietro · 25. 11. 2010 12:17

↑ medvidek:Ďakujem pekne za Tvoju trpezlivosť a aj za vodítko v rýchlosti. Už som si to natočil ináč a snáď vyriešim. Je to všetko veľmi zaujímavé preto ma to tak chytilo. Ešte ma napadlo potom, keď sa vyhrabem z tunelov, ako sa budú tie kúsky Zeme usporadúvať, keď ich vplyvom vzájomnej gravitácie rozpohybujem, do čoho sa zoskupia po určitom čase...

Zistil som aj digitálny silomer, ale tá DPH je ešte veľmi vysoká :-(

značka ***** = znamenala pre mňa v tom momente niečo ako keď novinárom A.E. vyvetľoval čo je to relativita (nos v *****), nahnevalo ma , že to nekmitá.

Pozdravujem a pekný deň prajem!

pietro · 25. 11. 2010 20:29

Ahojte, tak som to už s Vašou pomocou dotlačil. A môžem rozjímať nad výsledkami a dôsledkami. Ďakujem krásne!

Keby som Vás nemal už by som to dávno vzdal.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

pietro · 02. 12. 2010 16:29 — Editoval pietro (02. 12. 2010 16:47)

1. Takže čas prechodu hmotného telesa cez guľovo - symetricky rovnomerne rozloženú hmotu je funkciou mernej hmotnosti uzatvorenej v tejto guli. Pre Zem je charakteristická hodnota 84 minut, pre Slnko iná, pre Jupiter iná a pod.
http://www.universetoday.com/36935/dens … e-planets/
Tento čas ( frekvencia) vlastne charakterizuje nejak súhrnne hmotný objekt, ktorého hustotou sa musí "pretĺkať " hmotný bod keď je vo vnútri.
=
Alebo ešte stručnejšie : akási frekvencia je úmerná zhusteniu "baryónov?"

2. Konečne sa dostávam Vašou zásluhou ku môjmu problému, pustím teda hmotné teleso z výšky 1000 km na Zem. Trasu rozdelím na dve časti. V prvej budem uvažovať pád tak, že Zem bude ako hmotný bod, g=g( -k/r^2) a na povrchu Zeme prepnem výpočet na druhý tvar g=g( -k/r^1), ktorý sme odvodili pre let cez tunel v Zemi s tým, že počiatočnú rýchlosť budem mať zapamätanú z výsledku prvej časti. A som zvedavý :-) či bude kmitať.

Pekný deň!

Matematické Fórum

#1 12. 11. 2010 15:11

tunel cez Zem-gravitácia

#2 12. 11. 2010 15:20

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#3 12. 11. 2010 16:08

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#4 12. 11. 2010 17:03

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#5 12. 11. 2010 18:31

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#6 12. 11. 2010 18:51

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#7 16. 11. 2010 16:30

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#8 16. 11. 2010 21:35

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#9 17. 11. 2010 11:49 — Editoval pietro (17. 11. 2010 12:02)

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#10 18. 11. 2010 03:41

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#11 18. 11. 2010 17:19

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#12 20. 11. 2010 12:37

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#13 21. 11. 2010 12:30

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#14 22. 11. 2010 18:05

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#15 23. 11. 2010 11:22

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#16 23. 11. 2010 17:50 — Editoval pietro (23. 11. 2010 17:52)

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#17 23. 11. 2010 18:15

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#18 23. 11. 2010 18:38

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#19 23. 11. 2010 18:39

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#20 24. 11. 2010 04:24 — Editoval medvidek (24. 11. 2010 04:32)

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#21 24. 11. 2010 12:46

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#22 24. 11. 2010 20:00

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#23 25. 11. 2010 12:17

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#24 25. 11. 2010 20:29

Re: tunel cez Zem-gravitácia

#25 02. 12. 2010 16:29 — Editoval pietro (02. 12. 2010 16:47)

Re: tunel cez Zem-gravitácia

Zápatí