Matematické Fórum

Katarina · 23. 11. 2010 20:42

Ahojky,

prosím Vás o pomoc při řešení tohoto příkladu:

Na úsečce délky 5 náhodně zvolíme dva body. Jaká je pravděpodobnost, že vzdálenost mezi nimi bude menší než 5c? (0<c<1).

Vůbec si s tím nevím rady.
Určím si 2 body na úsečce, např. A, B >>>> |A,B|<5c

lukaszh · 23. 11. 2010 21:08

↑ Katarina:

Riešenie úlohy je ekvivalentné riešeniu na úsečke dĺžky 1, pričom uvažujeme vzdialenosť menšiu ako 1*c. c náleží (0,1). Z definície pravdepodobnosti

$\rm{P}=\frac{|M|}{|\rm{\Omega}|}$

kde |.| značí obsah množiny. My požadujeme, aby

$A+B\,<\,c$

Všetky vyhovujúce dvojice A,B môžeme zapísať

$M=\{[A,B]\in(0,1)\times(0,1)\,:\;A+B\,<\,c\,,\;c\in(0,1)\}$

Aký je obsah (miera) tejto množiny? Keď sa to načtrne, ide o trojuholník a preto

$|M|=\frac{1}{2}c^2$

Teraz ten istý cirkus pre Omega.

$\rm{\Omega}=\{[A,B]\in(0,1)\times(0,1)\}$

Miera tejto množiny je 1. A teda

$\rm{P}=\frac{1}{2}c^2$