Matematické Fórum

Lumikodlak · 23. 11. 2010 19:07

Ahoj, narazil jsem nahodou na dukaz o nespocetnosti realnych cisel tady Cantorovou metodou. Porad mi to nejak vrta hlavou a nerozumim tomu, proc by ten samy dukaz (uplne stejny ne, ale podobny) nemohl byt pouzit pro dokazani nespocetnosti prirozenych cisel. Akorat by se nepostupovalo doprava za desetinnou carku, ale postupovalo by se doleva. Nemate nekdo tuseni?

Jeste jedna vec me napada - je neco spatne na nasledujicim zobrazeni z R do Z? (pripada mi to jako bijekce mezi R a Z coz ale nejde)
Cifry cisla nalevo od desetinne carky na k-te pozici posunem na 2k-tou pozici, a cifry napravo od desetinne radky na l-te pozici dame doleva na -1+2l-tou pozici (Navic jeste zachovame znamenko). Takze napriklad:

58904.213
by se zobrazilo jako
508391024

(pripadne naopak z N do R: napr. 12345 -> 135.42)

Nejsem dobry matematik tak se omlouvam ze jsem to popsal tak neformalne, ale doufam, ze je to srozumitelne. Predem diky za pripadnou odpoved.

Pavel Brožek

Když vezmeš diagonální cifry, tak výsledné „číslo“ bude mít nekonečně mnoho cifer. To přirozená čísla nemívají. Proto to už nebude přirozené číslo.

To zobrazení není bijekce. Jak bys třeba zobrazil reálné číslo 1/3 do celých čísel? To by opět nebylo konečné celé číslo.

Lumikodlak · 23. 11. 2010 19:39

Pro ten prvni pripad - Znamena to tedy, ze pocet cifer nemuze byt nekonecne cislo, ale cislo samo o sobe byt nekonecno muze? Pocet cifer toho cisla je preci take prirozene cislo, nebo ne? To cislo by nemelo byt vetsi nez 10^X, kde X je nejake prirozene cislo. Nejak si nedovedu predstavit, co nekonecne byt muze, a co ne, no tak asi to budu muset proste nejak prekousnout :-) . Jinak diky za odpoved, jeste to necham chvili otevrene.

Pavel Brožek · 23. 11. 2010 20:30

Já jsem napsal, že to číslo sestavené pomocí cifer na diagonále bude mít nekonečně mnoho cifer. Lépe bych to mohl napsat tak, že nijak není zaručeno, že bude mít konečný počet cifer. Tahle formulace už je jasnější?

Aby mělo výsledné číslo konečný počet cifer (a bylo tedy přirozeným číslem – my potřebujeme, aby to bylo přirozené číslo, protože se snažíme vytvořit přirozené číslo, které není v seznamu), musely by cifry na diagonále od jisté chvíle být pořád nenulové, abychom je mohli nahrazovat nulami. Jenže proč by to tak mělo být? Nic takového jsme nepředpokládali.

Lumikodlak · 23. 11. 2010 23:11

Mel jsem na mysli to, ze pro n-ty clen te posloupnosti, to diagonalni cislo bude mit n cifer - cili n je prirozene a tim padem pocet cifer take. V posloupnosti 10^n jsou take vsechna cisla prirozena, i kdyz rostou do nekonecna (a cisla v teto posloupnosti jsou vetsi nez to diagonalni cislo).

Jestlize pocet cisel v posloupnosti je nekonecny, a posloupnost roste do nekonecna, tak i pocet cifer roste do nekonecna, ale to preci neznamena, ze jednotlive cleny nejsou prirozena cisla.

Na druhou stranu jestli takove cislo existuje, je pocet cifer nekonecny protoze je roven poctu clenu posloupnosti (a to je nekonecno).

No tak ja nevim jestli jsem se do toho nezamotal, a jestli nepisu neco spatne, zda se mi to jeko nejaky spor.

Nemusite se ale pokouset mi to vysvetlovat, jestli myslite, ze jsem ztraceny pripad :-)

Pavel Brožek · 24. 11. 2010 07:25

↑ Lumikodlak:

Idea důkazu v případě reálných čísel je ta, že vezmeme všechna reálná čísla a ta uspořádáme do posloupnosti indexované přirozenými čísly (předpokládáme tedy, že jsou spočetná). Chceme pak vytvořit jedno reálné číslo, které v posloupnosti není a tím ukázat spor s tím, že jsme je všechny uspořádali do posloupnosti. Na to jedno číslo sestavené pomocí diagonálních cifer je ale použita celá posloupnost, musí totiž být odlišné od všech čísel v posloupnosti. Neděláme to tak, že bychom sestavovali novou posloupnost reálných čísel, kde nejprve použijeme pouze první diagonální člen, pak použijeme dva a tak dále až limitou bude to hledané číslo. My to provedeme rovnou.

V případě, kdybychom to chtěli provést pro přirozená čísla, to má za následek, že výsledkem není nutně přirozené číslo.

Lumikodlak · 24. 11. 2010 12:37

No prave. Pokud to cislo vybiram z posloupnosti prirozenych cisel, ale dojdu k tomu, ze neni prirozene, tak je to podle me spor. Pokud se ale dojde ke sporu za prepodkladu, ze prirozena jsou spocetna, tak podle me spocetna nejsou. V tom Cantorove dukazu se take dojde ke sporu.

Pavel Brožek · 24. 11. 2010 13:32

↑ Lumikodlak:

Ale tam, kde vidíš spor, žádný spor není. Prostě sestavíš něco, co už neodpovídá žádnému konečnému číslu. Z čeho plyne, že se tím postupem vytvoří přirozené číslo? Podle mě z ničeho a proto to s tím není ve sporu.

Lumikodlak · 24. 11. 2010 15:08

Spor vidim v tom, ze to cislo vybiram pouze z cisel, ktera jsou prirozena - presne receno z posloupnosti, jejiz vsechny prvky jsou prirozena cisla. Nerikam, ze to cislo je konecne, ci prirozene, ale jak je mozne, ze neni, kdyz bylo vybrano pouze s prirozenych cisel? Me se to nezda logicke a vidim v tom jednoznacne spor, ale nejspis matematicka logika je zcela odlisna od te moji. V definici prirozeneho cisla nevidim, ze by nemohlo byt nekonecne, jen ze je cele a kladne.

Asi se s tim budu muset proste nejak smirit, zkusim najit neco k tomu na internetu. Dneska toto tema asi zavru uz, abych tim moc neobtezoval.

Pavel Brožek · 24. 11. 2010 15:34

↑ Lumikodlak:

Ale ty to číslo z toho seznamu nevybíráš. Ty ho pomocí seznamu pouze sestavuješ. Příklad: Mám čísla 1,3,4,5. Teď odliším dva případy:

1) Vyberu jedno z těch čísel. To označím x.
2) Podívám se na ta čísla, náhodně si dvě vyberu a spočtu jejich součet. Ten označím x.

V případě 1) je jasné, že x je nějaké číslo z těch mých čtyř čísel. V případě 2) to už není nutně pravda. Přesto bychom přece neřekli, že je to s něčím ve sporu.

V definici prirozeneho cisla nevidim, ze by nemohlo byt nekonecne, jen ze je cele a kladne.

V jaké definici? Přirozená čísla se nedefinují pomocí celých čísel, bývá to spíš naopak.

Lumikodlak · 24. 11. 2010 15:56

Vybiram ho z posloupnosti, ktera je podle seznamu sestavena. Aby to bylo podobne tomu na Wikipedii, tak napriklad: 5, 55, 455, 5455, 45455, 445455... a vezmu to cislo z teto posloupnosti. Nevim, jestli je to povolene, nevidim duvod, proc by se na to nedalo takhle nahlizet a proc by to neslo.

To, ze prirozena cisla jsou cela kladna, jsem nasel tady, nevim, jak moc je Wikipedia spolehliva a presna, nebo jak se to definuje bezne, tak mozna se zkusim podivat jeste jinam.

jarrro · 24. 11. 2010 16:03 — Editoval jarrro (25. 11. 2010 22:00)

↑ Lumikodlak:spočetnosť je definovaná tak,že množina A je spočetná ak existuje prostá funkcia
$f:N\rightarrow A$ v prípade A=N stačí vziať identitu

Pavel Brožek

↑ Lumikodlak:

Ale pokud vezmeš nějaké číslo z té posloupnosti, tak to neodpovídá tomu důkazu nespočetnosti reálných čísel. V tom důkazu se nevybírá číslo ze seznamu. Tam se sestavuje jedno nové číslo podle všech diagonálních cifer. To nové číslo je skutečně reálné číslo, protože je to nějaký desetinný rozvoj a každý desetinný rozvoj odpovídá nějakému reálnému číslu.

Není ale pravda, že každý „rozvoj“ před desetinnou čárkou odpovídá nějakému reálnému číslu. Reálnému číslu odpovídají pouze rozvoje před desetinnou čárkou, které mají konečný počet nenulových členů.

Edit: podívej se, co wikipedie píše o celých číslech :-). První věta v článku na wikipedii obvykle představuje velmi jednoduché přiblížení pojmu neznalému čtenáři. U matematických pojmů je často dále v textu uvedena přesnější definice.

Lumikodlak · 24. 11. 2010 16:31

↑ jarrro:
To je pravda, ale to podle me s timto az tolik nesouvisi. Kdyz by se mi podarilo dokazat, ze jsou spocetna a zaroven nespocetna, akorat by to znamenalo, ze definice spocetnosti neni v necem spravna.

↑ BrozekP:
Nejde mi o to dokazat jestli je realne, ci prirozene, nebo neni, ale o to, ze zaroven je prirozene a zaroven neni - coz je spor. Nemam preci problem s tim, ze neni prirozene ci realne, to, ze prirozene neni uz tu receno bylo.

K te casti, ze prirozene je - proc nemuzu rici, ze je prirozene proto, ze bylo vybrano z posloupnosti prirozenych cisel? To, ze je vybrano z posloupnosti prizozenych cisel, neni dukazem toho, ze je prirozene?

Pavel Brožek · 24. 11. 2010 16:36

↑ Lumikodlak:

Kdyby bylo vybráno z posloupnosti přirozených čísel, pak je přirozeným číslem. Ale ono z ní vybráno není.

Pavel Brožek · 24. 11. 2010 16:58

Přepsal jsem začátek důkazu z wikipedie pro přirozená čísla:

1. Předpokládejme, že množina přirozených čísel je spočetně nekonečná.
2. Můžeme tedy „zapsat“ všechna přirozená čísla do posloupnosti (r1, r2, r3, …)
3. Každé z těchto čísel lze zapsat v desetinném rozvoji (v našem případě dokonce za desetinnou čárkou nic nebude).
4. Seřadíme tato čísla (nemusí být seřazena v přirozeném uspořadání). Předpokládejme například, že počátek našeho seznamu vypadá takto:

r1 = … 0 0 0 0 … 0 1 0 5 1 1 0
r2 = … 0 0 0 0 … 0 0 4 1 3 2 0
r3 = … 0 0 0 0 … 0 2 4 5 0 2 6
r4 = … 0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 0 6
r5 = … 0 0 0 0 … 0 1 0 7 2 4 6
r6 = … 0 0 0 0 … 0 0 0 7 8 3 8
r7 = … 0 0 0 0 … 0 1 0 5 1 3 5
…

5. Sestrojíme „entitu“ x tak, že pro k-tou cifru vezmeme v úvahu k-tou cifru rk. Číslice, které bereme v úvahu, jsou v následující posloupnosti zvýrazněny (abychom ukázali, proč se důkaz nazývá diagonální metoda).

r1 = … 0 0 0 0 … 0 1 0 5 1 1 0
r2 = … 0 0 0 0 … 0 0 4 1 3 2 0
r3 = … 0 0 0 0 … 0 2 4 5 0 2 6
r4 = … 0 0 0 0 … 0 0 0 0 0 0 6
r5 = … 0 0 0 0 … 0 1 8 7 2 4 6
r6 = … 0 0 0 0 … 0 0 0 7 8 3 8
r7 = … 0 0 0 0 … 0 1 0 5 1 3 5
…

6. Z těchto číslic definujeme číslice čísla x následovně:
* pokud je na k-tém místě v rk číslice α ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} pak na k-tém místě v x bude číslice β ∈ ({0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} - {α})
7. zjednodušeně např.:
* pokud je na k-tém místě v rk číslice 5 pak na k-tém místě v x bude 4,
* pokud není na k-tém místě v rk číslice 5 pak na k-tém místě v x bude 5.
8. ???

V bodě 8 se původně píše

Číslo x je zřejmě reálné (jelikož všechny desetinné rozvoje reprezentují reálné číslo) z intervalu [0,1]. Například pro posloupnost uvedenou výše by x vypadalo takto:

x = 0 , 4 5 5 5 5 5 4 …

Co bys tam v našem případě napsal? Potřebujeme, aby v 8. bodě bylo napsáno, že „Číslo x je zřejmě přirozené“. To ale zřejmě není, protože ne každý rozvoj před desetinnou čárkou reprezentuje přirozené číslo. Takže důkaz takhle fungovat nemůže.

Lumikodlak · 24. 11. 2010 20:14

Napsal bych tam, ze je prirozene proto, ze je vybrano z posloupnosti prirozenych cisel (coz by tedy ale nebyla pravda podle tveho predchoziho prispevku).

To, ze neni vybrano bude ten kamen urazu. Neni mi ale jasne, proc z ni vybrano neni. Je to v tom, co jsem psal uz predtim - ze nevim, co nekonecne byt muze a co ne, a co si muzu dovolit udelat nekonecnekrat. V definicich prirozenych a celych cisel neni nic o poctu cifer, a jestli cele cislo muze nebo nemuze mit nekocne mnoho cifer. Tak asi to vyplyva z neceho jineho. Ovsem nejde mi do hlavy to, ze mnozina prirozenych cisel je nekonecna, a presto jsou vsechny jeji cleny konecna cisla. Kdyz se vezme posloupnost prirozenych cisel An=n (pro nejaky pocet prirozenych cisel), tak tato posloupnost bude obsahovat zaroven cislo rovne poctu clenu posloupnosti. Kdyz se ale ta posloupnost vezme pro vsechna prirozena cisla, tak pocet clenu bude nekonecny a tim padem by mela obsahovat i nekonecno. Me se tohle zda logicke, ale prepokladam, ze matematici takovyto logicky postup zakazuji, takze beru to tak ze to tvrzeni je spatne.

Dival jsem se na internet, a zjistil jsem ze v teorii mnozin se axiomy v historii menily, a ze to tedy cele nejspis zalezi na tom, jak to clovek nastavi tak, aby to vsechno vychazelo. A jestli je muze fungovat nejaka ta Goodsteinova veta, tak je mozne snad cokoliv :-)

No to byl muj nezkuseny pohled na vec a asi to timo uzavru uz. Uznavam, ze ten dukaz pouzit nejde a kazdopadne diky BrozkoviP za objasneni.

Pavel Brožek · 24. 11. 2010 20:41

Neni mi ale jasne, proc z ni vybrano neni.

Rozdíl mezi vybráním čísla z posloupnosti a vytvořením čísla pomocí posloupnosti jsem se snažil ilustrovat v příkladu: ↑ BrozekP:. My to číslo, které chceme použít pro spor (chceme o něm dokázat, že je přirozené a zároveň není přirozené) nevybíráme z posoupnosti, ale pomocí posloupnosti konstruujeme.

Zjednodušeně by se dalo říct, že přirozená čísla jsou všechna čísla, která dostaneš, pokud k jedničce přičteš konečně-krát jedničku. Je z toho intuitivně vidět, že pak nekonečný rozvoj před desetinnou čárkou nemůže představovat přirozené číslo?

Ovsem nejde mi do hlavy to, ze mnozina prirozenych cisel je nekonecna, a presto jsou vsechny jeji cleny konecna cisla.

Reálných (nebo i racionálních) čísel na intervalu $[0,1]$ je nekonečně mnoho, přesto jsou všechna konečná. Tohle ti jde do hlavy? :-) Jen množina přirozených čísel má tu vlastnost, že ať už si z ní vezmeš libovolně velké číslo, vždy k němu najdeš větší. Ale to bude opět konečné. I když přirozená čísla rostou nade všechny meze, není nutné, aby v nich bylo i nekonečno.

Kdyz se vezme posloupnost prirozenych cisel An=n (pro nejaky pocet prirozenych cisel), tak tato posloupnost bude obsahovat zaroven cislo rovne poctu clenu posloupnosti. Kdyz se ale ta posloupnost vezme pro vsechna prirozena cisla, tak pocet clenu bude nekonecny a tim padem by mela obsahovat i nekonecno.

Není vůbec výjimkou, že se některé vlastnosti při limitním přechodu nezachovávají. Pokud máš zkoušenosti s limitami, tak např. každý člen posloupnosti $\frac1n$ je nenulový, přesto je limita nulová. Nekonečno je zkrátka něco jiného než normální číslo, nemůžeš proto čekat, že to, co platí pro přirozené číslo, bude platit i pro nekonečno.

Nejsem odborník na teorii čísel, ale myslím, že i různé definice přirozených čísel se vždy shodnou na tom, že nic jako nekonečno jejich součástí není.

Lumikodlak · 25. 11. 2010 12:59

Ten rozdil v konstrukci a vybiranim posloupnosti chapu. Mel jsem na mysli napriklad ta prvni posloupnost:
Ta prvni posloupnost Ta posloupnost, kterou pomoci prvni konstruuju a z ni vybiram to cislo

p1 = 23784353 p1 = 4
p2 = 89473894 p2 = 44
p3 = 47238456 p3 = 544
p4 = 43489775 p4 = 4544
... ...

Akceptuju ale, ze to cislo takhle z posloupnosti vybrat nemuzu. Ale kdybych chtel to cislo zkonstruovat (a ne vybrat z rady), tak kde je dano, ze je zakazano cisla takhle konstruovat realna cisla takhle konstruovat a prirozena ne? Cislo sum((1/2)^n) je take konstruovano nekonecnym scitanim (nebo treba sum(1/n!).

Jednicku sice prictu konecnekrat, ale kdyz budu chtit zarucit, abu to platilo pro vsechna prirozena cisla, budu tu jednicku muset pricist tolikrat, kolik tech cisel je (protoze zadne dve se nesmi lisit). Ovsem prirozenych cisel je nekonecne mnoho, takze ji budu muset pricist nekonecnekrat.

To, ze na intervalu [0,1] jich muze byt nekonecne mnoho mi do hlavy jde, protoze u sebe mohou byt nekonecne blizko. (narozdil od priozenych, ktera se musi o 1 lisit)

Vim, co je to limita (priblizne :-) ), ale nevim, jestli v tomto pripade jde pouzit. Kdyz jde o posloupnosti prirozenych cisel, z nichz zadna dve nejsou stejna, tak takova posloupnost nikdy nemuze mit limitu. Mozna s tim nekonecnem se spatne vyjadruju, nemam na mysli, ze je jedno nekonecno, ale ze prirozena cisla mohou byt nekonecne velka, stejne jako 1/n muze byt nekonecne male.

Napadaji me jeste veci s tim desetinnym rozvojem - Jestlize kazde prirozene cislo ma mit desetinny rozvoj, pak mnozina desetinnych rozvoju ma nekocne mnoho clenu, stejne jako je nekonecne mnoho prirozenych cisel. Desetinny rozvoj je ale rada na mnozine {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, coz je konecna mnozina. Takze jestli mnozina desetinnych rozvoju ma byt nekonecna, pak i ta rada ma nekocne mnoho clenu, takze nevidim duvod, proc by napriklad cislo, ktere ma vsechy cleny teto nekonecne rady cislo 1 nemohlo byt prirozene ci cele cislo (coz by znamenalo, ze ma nekonecy desetinny rozvoj).

A jeste jedna vec - je mnozina desetinnych rozvoju realnych cisel na [0,1] spocetna, ci nespocetna? Jestlize je spocetna, pak ale existuje spousta realnych cisel, ktera nejdou pomoci rozvoje vyjadrit (v podstate zadne nejde vyjadrit, coz mi vubec nejak nesedi, myslel jsem, ze vsechna realna jdou vyjadrit pomoci desetinneho rozvoje). Na druhou stranu nechapu, jak by ta mnozina mohla byt nespocetna, kdyz desetinny rozvoj je posloupnost na konecne mnozine (a navic kdyby nespocetna byla, tak mi moc nejde do hlavy, jak by se vsechna mela ocislovat aby mohla vzniknout posloupnost v tom Cantorove dukazu).
Takze, mnozina desetinnych rozvoju na [0,1] je spocetna ci nespocetna?

Matematice zas tolik nerozumim, a jeste jsem dale hledal na internetu a prozatim jsem nasel uspokojujici odpoved na me otazky a nejasnosti tady, takze ted uz dam na chvili pokoj :-)

Pavel Brožek · 25. 11. 2010 13:43

↑ Lumikodlak:

kde je dano, ze je zakazano cisla takhle konstruovat realna cisla takhle konstruovat a prirozena ne?

Když přidáváš číslice za desetinnou čárku, pořád se víc přibližuješ jistému reálnému číslo. S každou další číslicí se už číslo změní míň. Posloupnost

3
3,1
3,14
3,141
…

proto například konverguje k číslu $\pi$ . Když budeš přidávat číslice před desetinnou čárku, rozdíl mezi každými dvěma sousedními členy bude naopak růst. Takže posloupnost takových čísel nemá limitu. (Resp. řekneme, že má limitu nekonečno, protože roste nade všechny meze.)

1/n muze byt nekonecne male.

Ne, takhle se to neříká. Říkáme, že může být libovolně malé (když zvolíme n dostatečně velké). Ale neřekneme, že je nekonečně malé.

Na druhou stranu nechapu, jak by ta mnozina mohla byt nespocetna, kdyz desetinny rozvoj je posloupnost na konecne mnozine

Existuje nespočetně mnoho posloupností obsahující pouze čísla 0, …, 9.

a navic kdyby nespocetna byla, tak mi moc nejde do hlavy, jak by se vsechna mela ocislovat aby mohla vzniknout posloupnost v tom Cantorove dukazu

Ale spočetnost je právě naším předpokladem. Právě kvůli němu dojdeme ke sporu.

Lumikodlak · 25. 11. 2010 23:15

Myslim ze ted mi to zacina byt tedy jasne - ze Cantor provadi limitu, nebylo to tam psano ze provadi limitu. (Takze jsem zadnou limitu provadet nechtel a nevadilo mi ze ji ta posloupnost nema)

S tou spocetnosti posloupnosti jsem to tedy spletl, takze jestli to spravne chapu, tak mnozina nekonecnych posloupnosti je nespocetna a mnozina konecnych posloupnosti je spocetna.

Kdyz si ty veci dam dohromady, tak podle me ale Cantorova veta nic nedokazuje:

Mnozina nekonecnych desetinnych rozvoju je tedy nespocetna.

Kdyz v Cantorove vete zacnu predpokladat, ze mnozina realnych cisel na [0,1] je spocetna, tak tim ztratim bijekci mezi desetinnymi rozvoji a mnozinou realnych cisel. Jinak - mnozina nekonecnych desetinnych rozvoju je nespocetna, coz znamena, ze jsou v ni prvky, ktere nemohu promitnout na spocetnou mnozinu (v tomto pripade realna cisla na intervalu [0,1] jak tvrdi predpoklad). Takze ted neplati, ze kazdy nekonecny rozvoj je realne cislo (ale k realnemu cislu rozvoj najdu).

Potom tedy zobrazim tu spocetnou mnozinu realnych cisel na mnozinu nekonecnych desetinnych rozvoju.

Na teto mnozine rozvoju provedu limitu, a dostanu tedy nejaky nekonecny desetinny rozvoj. Jak jsi uz psal predtim, tak v limite vubec nemusi platit, ze jeji vysledek je roven nekteremu z prvku posloupnosti, ze kterych byla provedena (stejne jako v 1/n) - a dokonce v tomto pripade byla zamerne provedena tak, aby se zadnemu z prvku nerovnala.

Ted tedy mam akorat nejaky nekonecny rozvoj, ale vubec neni zaruceno, ze lze zobrazit na realna cisla - jak jsem psal predtim - mnozina rozvoju je nespocetna, ale mnozina realnych cisel spocetna, takze mi nic nezarucuje, ze k nemu pujde nalezt realne cislo protoze je to promitani z nespocetne do spocetne.

Pavel Brožek

Ale tvrzení „množina desetinných rozvojů je nespočetná“ a tvrzení „množina reálných čísel na [0,1] je nespočetná“ jsou pro nás v podstatě ekvivalentní, protože každý desetinný rozvoj nazýváme reálným číslem. To, že množina desetinných rozvojů je nespočetná chceme teprve dokázat.

Když tedy budeš předpokládat, že množina desetinných rozvojů je nespočetná, tak se pak samozřejmě Cantorův důkaz bude zdát nesmyslný, protože už na začátku důkazu předpokládáš opak a tím okamžitě dostáváš spor.

Chtělo by to, aby se k tématu vyjádřil někdo, kdo se zabývá teorií čísel (já jsem fyzik :-) ). Zdá se, že tě má (asi ne vždy úplně správná a jednoznačná) tvrzení jen matou. Označím téma za nevyřešené, třeba si někdo jiný tématu všimne.

jarrro · 26. 11. 2010 10:03 — Editoval jarrro (26. 11. 2010 10:11)

ja to vidím tak,že ide o dôkaz,že z ľubovoľnej prostej postupnosti kladných reálnych čísel menších ako jedna s jednoznačným nekonečným desatinným rozvojom sa dá skonštruovať kladné reálne číslo menšie ako jedna s jednoznačným nekonečným desatinným rozvojom,ktoré do tej postupnosti nepatrí

Rumburak

Zkusím tu diagonálná metodu důkazu vysvětlit na snad jednodušším příkladě.

Nechť P označuje množinu všech číselných posloupností

(1) $(a_k\,;\, k = 1,2, ...)$ takových, že pro každé k = 1, 2, ... je $a_k \in \{0,\, 1\}$ .

Populárně: Každým prvkem množiny P je nějaká číselná posloupnost, která je sestavená pouze z nul a jedniček,
a zároveň každá číselná posloupnost sestavená pouze z nul a jedniček je prvkem množiny P.
Že posloupnost je sestavená pouze z nul a jedniček znamená, že mezi jejímí členy se mohou libovolně vyskytovat čísla 0 a 1,
ale jiné prvky už ne.

Příklady:

Posloupnosti ( 0, 0, 0, ... ) , ( 1, 1, 1, ... ) , ( 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, ... ) do množiny P patří,
posloupnost ( 3, 0, 0, 0, ... ) do množiny P nepatří.

Snadno lze nahlédnout, že množina P je nekonečná :
Vezměme pouze takové posloupnosti z P, v nichž se člen s hodnotou 1 vyskytuje právě jedenkrát. Jsou to posloupnosti
( 1, 0, 0, 0, ... ) , ( 0, 1, 0, 0, ... ) , ( 0, 0, 1, 0, ... ) , ( 0, 0, 0, 1, 0, ... ) ... atd. ,
zřejmě již těchto posloupností je nekonečně mnoho.

Otázka : Je nekonečná množina P spočetná, nebo nespočetná ?

Co by to znamenalo, kdyby množina P byla spočetná ? Podle definice spočetnosti by to znamenalo, že existuje posloupnost
s následujícími vlastnostmi:

(2) každý její člen je některým prvkem množiny P ,
(3) každý prvek množiny P je některým členem této posloupnosti.

Zejména je důležitá vlastnost (3).

Ukážeme, že posloupnost s vlastnostmi (2), (3) neexistuje. Budeme postupovat sporem:

Předpokládejme, že

(4) $Q \,:= (A_n\,;\, n = 1,2, ...)$ je posloupnost s vlastnostmi (2), (3).

Sám každý její člen $A_n$ je posloupností tvaru (1), celkem tedy

$A_1 = (a_{1,1}\,,\, a_{1,2}\,,\, a_{1,3}\,,\, ...\,)$ , kde pro každé k = 1, 2, ... je $a_{1,k} \in \{0,\, 1\}$ ,
$A_2 = (a_{2,1}\,,\, a_{2,2}\,,\, a_{2,3}\,,\, ...\,)$ , kde pro každé k = 1, 2, ... je $a_{2,k} \in \{0,\, 1\}$ ,

........ ,

$A_n = (a_{n,1}\,,\, a_{n,2}\,,\, a_{n,3}\,,\, ...\,)$ , kde pro každé k = 1, 2, ... je $a_{n,k} \in \{0,\, 1\}$ ,

........ .

Máme tedy jakousi nekonečnou matici čísel $a_{n,k} \in \{0,\, 1\}$ .
Nyní položme

(5) $b_n \,:=\,1\,-\,a_{n,n}$ , n = 1, 2, ... .

Zřejmě vždy

(6) $b_{n} \in \{0,\, 1\}$ , $b_n \,\ne \,a_{n,n}$ .

Dále sestavme posloupnost $B = (\,b_1\,,\, b_2\,,\, b_3\,,\, ...\,)$ . Z (6) vyplývá, že posloupnost B patří do množiny P, avšak
není rovna žádné z posloupností $A_n$ a tedy také není členem posloupnosti Q (jejímiž členy jsou právě všechny posloupnosti $A_n$ ).
Posloupnost Q tedy nemá vlastnost (3), jak bylo předpokládáno, což je spor s předpokladem (4).

Posloupnost s vlastnostmi (2), (3) tudíž neexistuje a tedy množina P není spočetná.

EDIT 1. A jak to souvisí s nespočetností množiny reálných čísel ? Libovolné posloupnosti $A=(a_k)$ z množiny P, tedy posloupnosti tvaru (1) ,
přiřadíme reélné číslo
$f(A)\,:=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_k}{2^k}$ .

EDIT 2 . OPRAVA: předchozí vzorec je špatně, správně mělo být

$f(A)\,:=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_k}{10^k}\,=\,{0,a_1a_2a_3...}_{[X]}$ .

(Znakem vpravo je míněn zápis rálného čísla v desítkové soustavě. ) Toto zobrezení je prosté , nechť W je obor jeho hodnot.
Takže f je bijekce P na W, proto ani W není spočetná. Množina všech reálných čísel má tedy nespočetnou podmnožinu W,
proto je sama nespočetná.

↑ Lumikodlak:
Pokud bys měl dojem, žes našel důkaz tvrzení, že množina přiroz. čísel je nespočetná, dej ho sem a podíváme se na něj.