Matematické Fórum

strife · 22. 11. 2010 15:15

zdravím, už docela dlouho se pachtím s tímto příkladem f: y=1/[(x)^1/2] , slovně jedna lomeno druhá odmocnina z x
mám pomocí definice derivace určit f´. Pokud by mi někdo mohl alespoň nastínit postup, budu moc vděčný :-)

Rumburak · 22. 11. 2010 15:47

Podle definice derivace je

$f'(x)\,:= \lim_{h \to 0}\,\frac{f(x+h)\,-\,f(x)}{h}$ .

Jestliže tedy $f(x)\,:=\frac{1}{\sqrt{x}}$ , kde x > 0 , pak to znamená, že máme za úkol vypočítat limitu

$L\, :=f'(x)\,= \lim_{h \to 0}\,\frac{\frac{1}{\sqrt{x+h}}\,-\,\frac{1}{\sqrt{x}}}{h}$ .

Nebo je problém ještě jinde ?

strife · 22. 11. 2010 15:49

což k této limitě jsem se taky dostal, můj problém je v tom, vypočítat jí... nějak se stále ztrácím mezi těmi odmocninami

Rumburak

↑ strife:
O.K. Správný popis problému tedy měl být "nevím si rady s výpočtem limity $L\, := \lim_{h \to 0}\,\frac{\frac{1}{\sqrt{x+h}}\,-\,\frac{1}{\sqrt{x}}}{h}$ " .

Limitovaný výraz nejprve upravíme:

$\frac{\frac{1}{\sqrt{x+h}}\,-\,\frac{1}{\sqrt{x}}}{h} =\,-\frac {1}{h}\cdot\frac {\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}}=\,-\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\cdot \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h}$ .

Co dostaneme, když ve druhém zlomku roznásobíme závorky v čitateli ?

strife · 22. 11. 2010 17:05

jasně, takže druhý zlomek je roven h/h, takže 1, tedy výsledkem je zlomek první, je to tak? odmocniny mi vždy dělaly problémy...

Rumburak · 22. 11. 2010 17:14

↑ strife:
Přesněnji řečeno: výsledkem není "první zlomek", ale limita prvního zlomku (s ohledem na znaménko "-" před zlomkem).
První zlomek je při pevném x > 0 funkcí (proměnné "h"), která je spojitá v bodě h = 0.

strife · 24. 11. 2010 17:08

aha, no jo vlastně.... takže za h mohu dosadit 0, protože se k ní blíží, tím pádem je výsledkem - 1/(2x(x)^(1/2)) , a to už je výsledek oné derivace podle definice ... pochopil jsem správně?

jelena · 24. 11. 2010 21:03

↑ strife:

řekla bych, že doporučení váženého kolegy ↑ Rumburaka: bylo pochopeno správně a výsledek derivace dle definice souhlasí s výsledkem "tabulkové derivace x^n".

Lze považovat za vyřešené? Děkuji.

strife · 24. 11. 2010 21:14

výborně, velice děkuji za pomoc při řešení

Matematické Fórum

#1 22. 11. 2010 15:15

derivace funkce podle definice derivace

#2 22. 11. 2010 15:47

Re: derivace funkce podle definice derivace

#3 22. 11. 2010 15:49

Re: derivace funkce podle definice derivace

#4 22. 11. 2010 16:16 — Editoval Rumburak (22. 11. 2010 16:19)

Re: derivace funkce podle definice derivace

#5 22. 11. 2010 17:05

Re: derivace funkce podle definice derivace

#6 22. 11. 2010 17:14

Re: derivace funkce podle definice derivace

#7 24. 11. 2010 17:08

Re: derivace funkce podle definice derivace

#8 24. 11. 2010 21:03

Re: derivace funkce podle definice derivace

#9 24. 11. 2010 21:14

Re: derivace funkce podle definice derivace

Zápatí