Matematické Fórum

Pavel Brožek · 26. 11. 2010 13:43

↑↑ Rumburak:

Není tam problém s možností zapsat některá reálná čísla dvěma způsoby? Např.

$f$(1,0,0,0,0,\ldots)$=f$(0,1,1,1,1,1,1,\ldots)$$

Ale to by se určitě nějak snadno dalo obejít…

Rumburak · 26. 11. 2010 14:13

↑ BrozekP:
Máš pravdu, děkuji.
Myslel jsem na dekadický rozvoj, ale zapsal jsem to blbě. Už opraveno.

Lumikodlak · 26. 11. 2010 15:17

↑↑ Rumburak:
Diky.

Myslim, ze se mi ted podari lepe popsat, co jsem mel na mysli.

Jestlize je mozne v jednom kroku prohlasit, ze $b_n \,:=\,1\,-\,a_{n,n}$ pro vsechna a_{n,n} z nekonecne velke mnoziny, tak je podle meho nazoru mozne napsat v jednom kroku $k=\sum\limits_{N} n$ , coz nam da ze $k$ zaroven je a zaroven neni prirozene (timto mam namysli ten dukaz o prirozenych cislech). Urcite budete namitat, ze je to limita (o cemz BrozekP uz mluvil), ale ta operace v Cantorove dukazu je prece tedy take limita, a to nam nezarucuje existenci takoveho prvku (navic ta limita byla vytvorena tak aby se zadnemu prvku nerovnala), takze namuzem tvrdit, ze jsme takovou posloupnost nalezli. Z tohoto usuzuji, ze ta veta nic nedokazuje.

Mozna jeste k tomu proc se mi zda, ze je to limita - pro nekonecne posloupnosti nekonecnych posloupnosti neni definovana zadna operace jako "hromadne diagonalni odecitani", ci "hromadne diagonalni invertovani" (urcite chapete, co tim myslim), takze musim udelat nekonecne mnoho nejakych operaci (odcitani nebo invertovani), v tomto pripade $b_n \,:=\,1\,-\,a_{n,n}$ .

Lumikodlak · 26. 11. 2010 15:56

Nebo mozna jeste napadlo tohle, to je to co si pod tim predstavuju a v cem vidim problem, mozna bych si mel ale opravdu jeste vice matematiku nastudovat a nevim, jestli nasledujuci je korektni:

Prirozena:

A: Muzu napsat, ze: $k=\sum\limits_{N} n$ ?
B: Ne
A: A proc?
B: Protoze tam provadis nekonecne mnoho pricitani

Cantoruv pripad:

A: Muzu napsat, ze: $b_n \,:=\,1\,-\,a_{n,n}$ a $B = (\,b_1\,,\, b_2\,,\, b_3\,,\, ...\,)$ ?
B: Ne
A: A proc?
B: Protoze tam provadis nekonecne mnoho odecitani

jarrro · 26. 11. 2010 16:17

reálne čísla sú úplné zatiaľ čo prirodzené nie

Rumburak

↑ Lumikodlak:

1) V rámci jedné matematiské teorie není možné, aby daný objekt byl a zároveň nebyl přirozeným číslem.
Co jsou to vlastně přirozená čísla ? Jsou to abstraktní matematické objekty, jimiž vyjadřujeme mohutnosti KONEČNÝCH množin
(v autě jsou 4 sedadla, na stromě je 180 jablek apod. ) Takže součet řady
$\sum\limits_{n\in N} n = +\infty$
už NENÍ přirozené číslo. (I jako limita by někdy mohlo vyjít přirozené číslo, zde však ne. Symbol $+\infty$ pro hodnotu limity
se používá k vyjádření, že hodnoty posloupnosti či funkce rostou nade všechny meze. )

Opakuji : SYMBOL $+\infty$ NEPOVAŽUJEME ZA PŘIROZENÉ ČíSLO. Toto nedoroumění je možná jedním z pramenů některých Vašich
pochybností.

2) Operace v Cantortově diagonálním důkazu NENÍ LIMITA. Je to konstrukce, která má ukázat, že NELZE SEŘADIT DO JEDNÉ POSLOUPNOSTI
VŠECHNY PRVKY MNOŽINY P (z mého předchozího příspěvku). Myšlenka důkazu je v tomto: I kdybychom si mysleli, že takovou posloupnost
(mající jako své členy všechny prvky množiny P) již máme, vždy nakonec najdeme (a sice touto diagonální metodou) nějaký další prvek
množiny P , který do této posloupnosti zařazen nebyl. Nehledali jsme posloupnost, ale ukázali jsme sporem, že takovou posloupnost
NAJÍT NELZE.

3) Ano, ta konstrukce posloupnosti B je jakýsi nekonečný proces, ale ne každý nekonečný proces je limitou. Opět jde o nedorozumění,
pokud jde o terminologii. Prvotním úkolem limity není vyjadřovat nekonečný proces, ale speciálněji "přiblížování něčeho k něčemu" .
Abychom mohli hovořit o limitě, musíme tedy mít nějak definováno, kdy je k prvku L blíže prvek x než prvek y *), což u důkazu diagonální
metodou zavedeno nemáme a ani to nepotřebujeme mít zavedeno.

*) například "x je blíže k $+\infty$ než y , právě když x > y " .

Oxyd · 26. 11. 2010 16:24

↑ Lumikodlak:

Máš pravdu v tom, že nekonečně mnoho přičítání či odečítání udělat nemůžeš. (Minimálně ve obvyklé logice ne.) Proto se taky součet nekonečné řady definuje jako limita posloupnosti jejích částečných součtů (existuje-li).

Ovšem tohle se týká pouze jednoho výrazu. Výraz musí být konečně dlouhý. Ovšem výrazů nemusí být konečně mnoho.

V Rumburakově předvedení Cantorova argumentu je $b_n \,:=\,1\,-\,a_{n,n}$ -- to je pouze jedna operace odečítání. Takhle pomocí jediného odčítání definujeme pro každé $n \in \bb{N}$ číslo $b_n$ . Ano, tím budeme mít nekonečně mnoho proměnných, ale to běžná predikátová logika povoluje.

Omezení, že výraz musí být konečně dlouhý, ale že přesto můžeme vytvořit nekonečně mnoho čísel je v zásadě omezení nahodilé. Prostě se řeklo, že to tak bude a lidem se to tak líbilo, tak se to tak používá. Existují i jiné logiky -- například intuicionistická logika, kde by -- myslím si (nejsem logik) -- tenhle důkaz Cantorovy věty skutečně byl neplatný. Přesně proto, že potřebuje „nekonečné invertování“. (Doufám, že se nemýlím -- budu rád opraven, pokud jo.)

Naproti tomu například „infinitární logika“ by ti zřejmě povolovala vytvářet nekonečně dlouhé součty bez použití limit.

Rumburak · 26. 11. 2010 16:43

↑ Oxyd:
Toto je, myslím, správná cesta k objasnění problému. Děkuji.

Lumikodlak · 26. 11. 2010 16:54

Ok, jestli to zalezi na pouzite logice, tak jsem se netrefil do te spravne. Takze diky vsem, tema uzaviram (snad uz definitivne :-) ).

Matematické Fórum

#26 26. 11. 2010 13:43

Re: Nejasnost se spocetnosti mnoziny

#27 26. 11. 2010 14:13

Re: Nejasnost se spocetnosti mnoziny

#28 26. 11. 2010 15:17

Re: Nejasnost se spocetnosti mnoziny

#29 26. 11. 2010 15:56

Re: Nejasnost se spocetnosti mnoziny

#30 26. 11. 2010 16:17

Re: Nejasnost se spocetnosti mnoziny

#31 26. 11. 2010 16:19 — Editoval Rumburak (26. 11. 2010 16:47)

Re: Nejasnost se spocetnosti mnoziny

#32 26. 11. 2010 16:24

Re: Nejasnost se spocetnosti mnoziny

#33 26. 11. 2010 16:43

Re: Nejasnost se spocetnosti mnoziny

#34 26. 11. 2010 16:54

Re: Nejasnost se spocetnosti mnoziny

Zápatí