Matematické Fórum

halogan · 27. 11. 2010 13:17

Dobrý den,

máme v úkolu 5 součástek, které jsou zapojeny i) sériově, ii) paralelně, každá s životností danou (nezávisle) exponenciálním rozdělením $\mathrm{EXP}(\lambda_i)$ .

Máme najít cdf a density fci pro random variable T, která udává čas do poruchy toho systému. Tj. u sériového stačí jedna porucha a konec, u paralelního musí odejít všechny.

Chtěl jsem se proto zeptat, zda moje následující úvaha je správná. Bohužel v knize nemáme žádné příklady a na semináři jsme to též neměli.

i) Pst poruchy jedné součástky před časem x je $1 - e^{-\lambda_i x}$ , takže pst neporuchy bude $e^{-\lambda_i x}$ . Tím pádem pravděpodobnost toho, že všechny součástky v čase x pojedou, bude $e^{-x(\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_5)}$ a očekávaná pravděpodobnost poruchy tedy $1-e^{-x(\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_5)}$ .

ii) Můžeme mít 4 porouchané a stále jet. Extrém je tedy pět porouchaných součástí, tj. faktor $1-e^{-\lambda_i x}$ přes všech 5 i. To by mohla být ta pravděpodobnost poruchy.

---

Mám alespoň tyto úvahy správné? Jako třetí tam je totiž taková trochu složitější kombinace sériových a paralelních zapojení, toho se trochu bojím, tak chci mít jasno v teorii :-)

Děkuji a hezkou sobotu přeji.

Pavel Brožek · 27. 11. 2010 13:54

Ahoj,

myslím, že to je dobře.

Stýv · 27. 11. 2010 13:55

vypadá to ok

halogan · 27. 11. 2010 15:44

Super. Mám tu tedy už poslední zapojení:

Rozdělil jsem to na dvě větve, tu horní (V_1) a dolní (V_2). Bude mě zajímat, jaká bude pravděpodobnost poruchy do času x (trochu špatný výraz, ale víte, co myslím).

V2 je sériovka, takže to jen opíšu to horní, tj. $P(V_2 < X) = 1- e^{-x(\lambda_1+\lambda_5)}$ .

V1 je sériová, kde budu muset ošetřit situaci, kdy ta paralelní část funguje. To by mělo být $1- (1- e^{-x\lambda_3})(1-e^{-x\lambda_4})$ - tj. pokud obě nejsou rozbité, tak to funguje. To celé vynásobím pravděpodobností funkčnosti S_2 a celé to pak odečtu od jedničky a mělo by být vymalováno.

$P(V_1 < X) = 1-e^{\lambda_2 x} \cdot $1- (1- e^{-x\lambda_3})(1-e^{-x\lambda_4})$$ .

Pravděpodobnost selhání celého systému pak bude součin těchto dvou pravděpodobností. (teď ještě ale co s tou density funkcí :-)

Šlo by?

Děkuji.

Pavel Brožek · 27. 11. 2010 16:38

↑ halogan:

Souhlasím. Takže teď máš nějakou funkci $P(x)$ , která udává pravděpodobnost, že obvod selže někdy mezi časem 0 a časem x. Platí tedy

$P(x)=\int_0^x\varrho(t)\mathrm{d}t$ ,

kde $\varrho(t)$ udává hustotu pravděpodobnosti selhání v čase $t$ . Zřejmě pak platí $\varrho(x)=\frac{\mathrm{d}P(x)}{\mathrm{d}x}$ .

halogan · 27. 11. 2010 16:44

↑ BrozekP:

To vím, jen se mi to nechtělo upravovat a derivovat. Proto jsem tak nějak doufal, že bude i jiná cesta.

No nevadí, času dost, jdu si hrát.

Děkuji.

Matematické Fórum

#1 27. 11. 2010 13:17

Exponenciální rozdělení - poruchovost součástek

#2 27. 11. 2010 13:54

Re: Exponenciální rozdělení - poruchovost součástek

#3 27. 11. 2010 13:55

Re: Exponenciální rozdělení - poruchovost součástek

#4 27. 11. 2010 15:44

Re: Exponenciální rozdělení - poruchovost součástek

#5 27. 11. 2010 16:38

Re: Exponenciální rozdělení - poruchovost součástek

#6 27. 11. 2010 16:44

Re: Exponenciální rozdělení - poruchovost součástek

Zápatí