Matematické Fórum

Joerex · 27. 11. 2010 13:04

Zdravím, měl bych zde integrál u kterého nevím jak se přes parciální zlomky(s doplněním na čtverec) došlo k tomu co tam je.
Výpočet jsem dokončil pouze s pomocí MAWu.
Nemohl by mi prosím někdo ten krok s rokladem na parc. zlomky rozepsat? Díky.

jarrro · 27. 11. 2010 13:12

$\frac{1}{y^2+y}=\frac{a}{y}+\frac{b}{y+1}\nl\frac{1}{y^2+y}=\frac{ay+a+by}{y^2+y}\nla+b=0\nla=1\nlb=-1$

Joerex · 27. 11. 2010 13:41

↑ jarrro:
a jak se došlo k tomu (y + 1/2)^2 - 1/4 ?

jarrro · 27. 11. 2010 13:43

↑ Joerex:doplnením na štvorec,ale tu je to zbytočné ak máš takéto pekné parciálne zlomky
doplnenia sa využívajú ak máš nerozložiteľný kvadratický trojčlen v menovateli

Joerex · 27. 11. 2010 14:17 — Editoval Joerex (27. 11. 2010 14:33)

↑ jarrro:
tak to je asi tenhle případ,ale ať to zkoušim jak to zkoušim nemůžu se opět dopracovat k tomu co mi hodil MAW

jarrro · 27. 11. 2010 14:39 — Editoval jarrro (27. 11. 2010 14:40)

↑ Joerex:aj tam je to rozložiteľné,ale nie hneď treba ešte deliť

Joerex · 27. 11. 2010 15:26

↑ jarrro:
Tak ty parc. zlomky budou větší zlo než jsem si myslel.
Jak ten zlomek správně rozložit? jako A/(x+1) + B/(x-2) nebo (Bx + C)/(x-2) a následně se hodnoty dopočítají jak?

jarrro · 27. 11. 2010 15:32

↑ Joerex:najprv to vydeľ,lebo v čitateli je polynóm vyššieho stupňa a potom ten zvyšok rozlož na parciálne zlomky
$\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-2}$ konkrétne hodnoty zistíš ak to dáš na spoločného menovateľa a porovnáš koeficienty v čiteteľoch vznikne sústava,ktorú vyriešiš

Joerex · 27. 11. 2010 16:28

↑ jarrro:
možná to bude znít blbě,ale vydělit mám ten polynom z čitatele polynomem z jmenovatele? pokud ano tak mi vyšlo x+1 a zbytek x+7

jelena · 27. 11. 2010 18:40

↑ Joerex:

Zdravím, umisťuj, prosím zadání tak, aby bylo viditělné a také nové zadání do nového tématu (ale MAW už používáš hezky, děkuji :-)

navazuji na příspěvek 5 ↑ Joerex: a na doporučení kolegy Jarrro - v zadání (buď dělení mnohočlenenu mnohočlenem nebo pro takové liné, jako jsem já, jen něco přičtu a odečtu, až dojdu k výsledku:
$\frac{x^3-2x+5}{x^2-x-2}=\frac{x^3-x^2-2x+x^2+5}{x^2-x-2}=\frac{x^3-x^2-2x}{x^2-x-2}+\frac{x^2+5}{x^2-x-2}=\nl\text{ }\nl=x+\frac{x^2-x-2+x+7}{x^2-x-2}=x+1+\frac{x+7}{x^2-x-2}=x+1+\frac{x+7}{(x-2)(x+1)}$

Myslím, že souhlasí. Zbytek výpočtu už je v pořádku?

Poslední zlomek můžeš jako parciální nebo i tak, jak jsme řešili minule (když jsem měla chyby v úpravě). V pořádku?

Joerex · 30. 11. 2010 13:22 — Editoval Joerex (30. 11. 2010 13:54)

↑ jelena:
zbytek je již v celku jasný,šlo mi hlavně o ten rozklad na parc.zlomky - zde můj výpočet
měl jsem hlavně bordel v tom,co,kdy a kam dosadit nebo s čím porovnat...

jelena · 30. 11. 2010 14:48 — Editoval jelena (30. 11. 2010 14:48)

↑ Joerex:

mně se ten zápis nezdá, jelikož po vyčlenění celé části x+1 pracuješ jen se zlomkém určeným k rozkladu:

$\frac{x+7}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x+1)}=\frac{A(x+1)+B(x-2)}{(x-2)(x+1)}$

teď můžeš používat "zakrývací metodu" pouze pro čitatel:

$x+7=A(x+1)+B(x-2)$ pro x=-1 zmizně člen A(x+1) a máme $-1+7=B(-1-2)$ , odsud B

$x+7=A(x+1)+B(x-2)$ pro x=2 zmizně člen B(x-2) a máme $2+7=A(2+1)$ , odsud A

nebo jiná "skoro univerzální možnost" - zlomek převest zpět ke společnému jmenovateli a posbírat koeficienty u jednotlivých mocnin x:

$\frac{x+7}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{(x-2)}+\frac{B}{(x+1)}=\frac{A(x+1)+B(x-2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{x(A+B)+x^0(-2A+B)}{(x-2)(x+1)}=\frac{x(A+B)+(-2A+B)}{(x-2)(x+1)}$ proto mame

$1x=x(A+B)$
$7=-2A+B$
------------------
$1=A+B$
$7=-2A+B$

a tuto soustavu řešíme.

Je to lepší?