Matematické Fórum

nordec · 28. 11. 2010 20:27

Ahoj, nějak se mi stále nedaří zjistit, zda funkční posloupnost $f_n(x)=\sqrt{n^3+n}-\sqrt{x}n$ , $x\in[0,\infty)$ , konverguje, ať už bodově anebo stejnoměrně.

$\lim_{n\to\infty}\sqrt{n^3+n}-\sqrt{x}n=\infty$ , což znamená, že diverguje. Ale pokud x bude nekonečno, tak limita bude nula, a to značí naopak konvergenci. Docela mě to mate.

Skutečně posloupnost diverguje?

Děkuji za rady.

Stýv · 28. 11. 2010 20:55

pokud x bude nekonečno

může x být nekonečno?

Rumburak

↑ nordec:

Z podmínky $x\in[0,\infty)$ uvedené v zadání vyplývá, že x NEMŮŽE být nekonečno.

Pokud bychom zadání obměnili, připustili možnost $x=\infty=+\infty$ a přirozeným způsobem dodefinovali algebraické operace a uspořádání
s tímto nevlastním reálným číslem, pak by bylo

$\lim_{n\to\infty}\,(\sqrt{n^3+n}-\sqrt{\infty}n) \,=\, \lim_{n\to\infty}\,(\sqrt{n^3+n}-\infty) = \,\lim_{n\to\infty}\,(-\infty) = -\infty$

a tedy ne 0, jak se domníváš.

nordec · 29. 11. 2010 14:20

Já spíš myslel, že pokud se v té limitě n blíží k nekonečnu a $x\in[0,\infty)$ , tak čím větší bude x, tím menší bude limita, a na konci intervalu, kde se x blíží k nekonečnu (ne x bude nekonečno, to jsem napsal blbost), bude limita 0, protože za x si představím n:

$\lim_{n\to\infty}\sqrt{n^3+n}-\sqrt{n}n=\lim_{n\to\infty}\sqrt{n^3+n}-\sqrt{n^3}=0$ .

Rumburak · 29. 11. 2010 15:21

↑ nordec:
No jo, ale když napíšeme $\lim_{n\to\infty}\, f_n(x)$ , znamená to, že limitu provádíme podle proměnné n, zatímco x je parametr
nezávislý na n. Takže každá pevně zvolená hodnota parametru x vlastně představuje jednu - obecně samostatnou - úlohu
na výpočet limity (již bez parametru), při čemž výsledek obecně závisí na té pevně zvolené hodnotě x, kterou jsme před
výpočtem limity do úlohy "dosadili" .
Že ve speciálních zadáních tohoto parametrizovaného problému velmi často můžeme výpočet limity provést jednotným postupem
pro mnoho hodnot parametru x, toť druhá věc. To ale nijak neznamená, že by bylo možno měnit hodnotu x v závislosti na n,
pak by to byla jiná úloha.

nordec · 29. 11. 2010 16:16

↑ Rumburak:
Díky, teď už chápu, proč je limita nekonečno.

Ještě k té konvergenci, pokud $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n^3+n}-\sqrt{x}n=\infty$ , znamená to, že funkční posloupnost diverguje na celém $x\in[0,\infty)$ nebo je potřeba určit poloměr konvergence?

Rumburak · 29. 11. 2010 16:30

↑ nordec:
Daná funkční posloupnost diverguje v celém $[0,\infty)$ , to znamená, že nekonvegguje nikde
(pro x < 0 nejsou funkce této posloupnosti ani definovány).

Poloměr konvernce je pojem z teorie mocninných řad a s touto úlohou nemá nic společného.

nordec · 29. 11. 2010 16:53

↑ Rumburak:
Ještě jednou díky. Už jsou všechny nejasnosti vyřešené.

Matematické Fórum

#1 28. 11. 2010 20:27

Konvergence funkční posloupnosti

#2 28. 11. 2010 20:55

Re: Konvergence funkční posloupnosti

#3 29. 11. 2010 09:24 — Editoval Rumburak (29. 11. 2010 10:18)

Re: Konvergence funkční posloupnosti

#4 29. 11. 2010 14:20

Re: Konvergence funkční posloupnosti

#5 29. 11. 2010 15:21

Re: Konvergence funkční posloupnosti

#6 29. 11. 2010 16:16

Re: Konvergence funkční posloupnosti

#7 29. 11. 2010 16:30

Re: Konvergence funkční posloupnosti

#8 29. 11. 2010 16:53

Re: Konvergence funkční posloupnosti

Zápatí