Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 29. 11. 2010 12:26
Úhlopříčky v mnohoúhelníku
Dobrý den,
mám zadání příkladu:
V mnohoúhelníku jsou narýsovány některé úhlopříčky. Vrchol, ze kterého vychází počet lichý počet úhlopříček, budeme nazývat lichý vrchol. Sudý vrchol je ten, ze kterého vychází sudý počet úhlopříček (může to být i nula). Dokažte, že počet lichých vrcholů je sudý.
A u toho bylo následující řešení:
Z něhož nejsem teda vůbec moudřejší. Podle mě ten závěr akorát říká, že počet úhlopříček z lichých vrcholů je sudý?
Nebo jsem si to řešení špatně vyložil?
Případně někoho napadá řešení?
Díky za radu.
Offline
#2 29. 11. 2010 22:21
Re: Úhlopříčky v mnohoúhelníku
Výpočet se dá interpretovat i tak, že SOUČET počtu úhlopříček, které vychází z vrcholů s lichým počtem úhlopříček, je sudý. Každou úhlopříčku počítám tolikrát, z kolika vrcholů lichého stupně vychází.
Součet nějakého počtu lichých čísel je sudý, pouze púokud uvedený počet je lichých čísel je sudý.
Poznámka: Jedná se o analogii principu sudosti pro grafy s vrcholy a hranami, respektive jejího důsledku, který říká, že počet vrcholů lichého stupně (v libovolném grafu) je sudý.
Offline
#3 08. 12. 2010 20:43
Re: Úhlopříčky v mnohoúhelníku
Díky. Tohle řešení bylo správně. A pomohlo mi.
Pak jsem zjistil ještě jedno (jenom pokud by to někoho zajímalo):
Nejprve si představíme jakým procesem obrázek vznikl.
Mějme tedy n – úhelník bez úhlopříček (v tomto případě je počet lichých vrcholů sudý, neboť jejich počet je nula).
Vytvoříme první úhlopříčku. Tím vzniknou dva liché vrcholy. Pro vytvoření dalších úhlopříček máme následující možnosti:
a) Úhlopříčka spojí dva sudé vrcholy, tím přibudou dva nové liché vrcholy. Tedy parita lichých vrcholů se nemění.
b) Úhlopříčka spojí dva liché vrcholy, tím ubudou dva liché vrcholy. Parita lichých vrcholů zůstane nezměněna.
c) Úhlopříčka spojí jeden lichý a jeden sudý vrchol. Počet lichých vrcholů zůstane nezměněn. Parita se tedy nemění.
Z daných možností, jež mohou nastat, vyplývá, že v každém kroku zůstává počet lichých vrcholů sudý.
Offline