Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 29. 11. 2010 01:24 — Editoval Kalanvatar (29. 11. 2010 01:29)
- Kalanvatar
- Zelenáč
- Příspěvky: 19
- Reputace: 0
důkaz pro n
Prosím o pomoc. :))
n je přirozené číslo větší než 3 a zároveň platí : n je prvočíslo a zároveň (n+2) je prvočíslo => (n+1) je dělitelné 6
Jednoduše selským rozumem to jde vypočítat, ale zajímalo by mně, jestli lze najít nějaký algoritmus, který to usnadňuje.
Předem díky.
Offline
#2 29. 11. 2010 06:44 — Editoval Honzc (29. 11. 2010 10:46)
Re: důkaz pro n
↑ Kalanvatar:
Jde na to najít toto: (jinak takovýmto prvočíslům se říká prvočíselná dvojčata)
1. Aby číslo bylo dělitelné 6-ti musí být dělitelné 2 a zároveň 3.
2. Je-li prvočíslo větší něž 2 je nutně liché.
3. Mají-li to být prvočíselná dvojčata (obě lichá a jejich rozdíl je 2) je zřejmé, že číslo
mezi nimi je sudé (střídají se přece čísla: liché,sudé, liché...) a tedy dělitelné 2.
4. Máme 3 za sebou jdoucí čísla. V každé trojici za sebou jdoucích čísel je nutně jedno
dělitelné 3. Protože dvě krajní čísla to být nemohou (pro n>3), jinak by to nebyla
prvočísla, musí být prostřední číslo dělitelné 3.
5. A je to.
Offline
#3 29. 11. 2010 21:24
- Kalanvatar
- Zelenáč
- Příspěvky: 19
- Reputace: 0
Re: důkaz pro n
↑ Honzc:
Fíha, to je skvělé a jednoduché. :) Takže kdybych to měl počítat, tak mám najít všechna prvočíselná dvojčata, jejichž prostřední člen je /3?
My jsme přemýšleli jak zobecnit ten výpočet a došli jsme k:
najít 2 nejmenší prvočísla pro které to platí - což jsou n=5 a n+2=7 => n+1= 6...
takže ty hledaná prvočísla by měla být n=5 + 6k... k=0,1,2... (a zároveň stále musí platit, že 7+6k je prvočíslo), číslo mezi nimi je vž...dy násobek 6 což se dokáže...
př. n=3119 (5 + 6*519)... n+2= 3121 (7 + 6*519)...
n+1= 3120 (/6 = 520)
Problém nastal, že druhé číslo nemusí být vždy prvočíslo, proto jsme to museli ošetřit v k a to:
Případně ta podmínka bude splněna, když z k vyndáme každé číslo 3+f ... f=(0,5,7,11,13..... a další prvočísla) a všechny násobky sedmi.
tzn. z k vyjmeme: (3,7,8,13,14,18,19,21,23,27,28,30.....)
uff je toho dost a nejsem si jistý, jestli to je schůdnější cesta.
Offline
#4 30. 11. 2010 13:48 — Editoval Honzc (30. 11. 2010 14:20)
Re: důkaz pro n
↑ Kalanvatar:
Ty jsi tu úlohu špatně pochopil.
Já si myslím, že máte dokázat, že máme-li dvě prvočísla, jejichž rozdíl je 2 (to jest máme prvočíselná dvojčata), tak číslo mezi nimi je dělitelné 6-ti.
No, ale to jsem ti už dokázal ve svém minulém příspěvku. Takže není třeba nic dalšího.
Aby to bylo úplně jasné, tak závěr toho důkazu bude:
5. Tak jsme dokázali, že číslo mezi dvěma prvočísly jejichž rozdíl je 2 a menší z nich je větší než 3 je dělitelné dvěma a zároveň třemi, to je dělitelné šesti.
Offline