Matematické Fórum

lonk · 30. 11. 2010 15:29

Ahoj.

Mám zadané souřadnice dvou bodů X a Y a také znám nějaký úhel alfa. A já mam najít souřadnice bodu Z, pro který platí, že:
- bod X je stejně vzdálený od bodu Y jako hledaný bod Z (body X a Z tedy leží na kružnici se středem Y)
- úhel XYZ = alfa

Lze nějak jednoduše spočítat souřadnice bodu Z?

Cheop · 01. 12. 2010 11:08 — Editoval Cheop (01. 12. 2010 12:41)

↑ lonk:
1) Najít střed S úsečky XY pak musí platit:
$\rm{tg}\,\alpha=\frac{|SZ|}{|SY|}$
$\rm{cos}\,\alpha=\frac{|SY|}{|SZ|}$
Průsečík těchto kružnic je hledaný bod Z

Obrázek:

Zadáno:
alfa = 30
X=(4; 1)
Y=(-2; -2)

2. zpusob:
Platí:
1) $|XZ|=|YZ|$
2) $|XZ|^2=\frac{|XY|^2}{2\left[1-\cos(180-2\,\alpha)\right]}$ (kosinová věta)
3) $|YZ|^2=\frac{|XY|^2}{2\left[1-\cos\(180-2\,\alpha)\right]}$ (kosinová věta)
Řešením rovnic 2) a 3) získáme bod Z jako průsečík dvou kružnic

Honzc · 01. 12. 2010 12:17

↑ Cheop:
Čau, to asi řešíš jinou úlohu. Podle zadání mají body X,Z ležet na stejné kružnici se středem v Y.

Cheop · 01. 12. 2010 12:36 — Editoval Cheop (01. 12. 2010 12:50)

↑ Honzc:
Jo máš pravdu,ale pokud je to tak, potom
vzdálenost YZ = XZ je vzdálenost XY = poloměr kružnice
a co s tím úhlem?
Pokud jsem si to dobře načtrl pak ten úhel může být pouze 60 stupňů =
rovnostranný trojúhelník se stranami poloměru.

jelena · 01. 12. 2010 13:13

Zdravím vás,

řekla bych, že "bod Z leží na kružnici" je návrh autora úvodního příspěvku. Podle zadání bych rozuměla, že stejně vzdálený bod Z leží na ose úsečky XY.

Může být? Děkuji.

Cheop · 01. 12. 2010 13:28

↑ jelena:
Zdravím,
Bod Z sice leží na ose úsečky XY, ale úhel nemůže být jiný než 60 stupňů.
Tak proč tam o něm tazatel píše?

jelena · 01. 12. 2010 13:32

↑ Cheop: děkuji.

No pravě proto - jedna podmínka, že bod je na ose - to je množina všech bodů osy, 2. podmínka - splnění úhlu - 2 body na ose, ze kterých vidíme úsečku XY pod úhlem 60 stupňů (nebo pod nějakou alfou, jak píše kolega ("tazatel" se mi špatně vyslovuje)).

Může být?

lonk · 01. 12. 2010 13:34

Cheop: díky, i když to nebylo úplně ono... ale myslím, že jsi mi stejně pomohl a asi už vím jak to dál vyřešit
Jinak můžu se zeptat v čem jsi vytvořil ten obrázek?

Ten úhel by měl být i jiný než 60 stupňů.
A ten bod X by měl ležet také na té fialové kružnici. Mělo by platit: velikost YZ = velikost YX

Cheop · 01. 12. 2010 13:57 — Editoval Cheop (01. 12. 2010 14:01)

↑ lonk:
Obrázek je dělán v programu Geogebra
http://www.geogebra.org/cms

Honzc · 02. 12. 2010 09:23

↑ lonk:
I když už je to možná bezpředmětné, tak podle mne nejjednodušší řešení je toto:
Použít translaci a rotaci, jednoduše vyřešit a pak se vrátit zpět.
Úhel může být v intervalu (0,180st)
Řešení viz níže.

Matematické Fórum

#1 30. 11. 2010 15:29

Analytická geometri - dva body a úhel => zjistit třetí bod

#2 01. 12. 2010 11:08 — Editoval Cheop (01. 12. 2010 12:41)

Re: Analytická geometri - dva body a úhel => zjistit třetí bod

#3 01. 12. 2010 12:17

Re: Analytická geometri - dva body a úhel => zjistit třetí bod

#4 01. 12. 2010 12:36 — Editoval Cheop (01. 12. 2010 12:50)

Re: Analytická geometri - dva body a úhel => zjistit třetí bod

#5 01. 12. 2010 13:13

Re: Analytická geometri - dva body a úhel => zjistit třetí bod

#6 01. 12. 2010 13:28

Re: Analytická geometri - dva body a úhel => zjistit třetí bod

#7 01. 12. 2010 13:32

Re: Analytická geometri - dva body a úhel => zjistit třetí bod

#8 01. 12. 2010 13:34

Re: Analytická geometri - dva body a úhel => zjistit třetí bod

#9 01. 12. 2010 13:57 — Editoval Cheop (01. 12. 2010 14:01)

Re: Analytická geometri - dva body a úhel => zjistit třetí bod

#10 02. 12. 2010 09:23

Re: Analytická geometri - dva body a úhel => zjistit třetí bod

Zápatí