Matematické Fórum

Pavel.R · 24. 04. 2008 01:11

Ahoj nějak mi nevychází následující příklad Podle výsledků má vyjít 16. Poraďte mi prosím co dělám špatně. Díky

Zadání:
$\lim_{n\rightarrow \inft}(\frac{1^3}{n^4}+\frac{2^3}{n^4}+...+\frac{(4n-1)^3}{n^4})$
---------
$= \lim_{n\rightarrow \inft}(\sum_{i=1}^{4n-1} (\frac{i}{n})^3 \frac{1}{n})=^?\int_0^{4} x^3 dx$

nika.v · 24. 04. 2008 12:15

↑ Pavel.R:

Ahojky, přiznám se, že mi přijde zvláštění ten součet řady, ale fakt nevím. Zkoušela jsem to pomocí částečných součtů - sečíst první a poslední, vynásobit n a to celé vydělit 2 a z toho limitu, vyšlo mi 128. :-)

robert.marik

↑ nika.v:
koušela jsem to pomocí částečných součtů - sečíst první a poslední, vynásobit n a to celé vydělit 2 a z toho limitu, vyšlo mi 128.
no nevím..... jak se vlastně sčítá řada $\sum\frac{i^3}{n^4}$ ? určitě ne stejně jako aritmetická řada.

robert.marik · 24. 04. 2008 22:33

nakonec jsem to nacpal do Maximy

sum(k^3, k, 1, n), simpsum; -> ((4*n-1)^4+2*(4*n-1)^3+(4*n-1)^2)/4

po vydeleni n^4 a limitnim prechodu n->nekonecno vychazi 64
hodnota toho integralu pres primitivni funkci je taky 64

chce to jenom umet odvodit ten vzorec na soucet te rady. Byl na to nejaky umely trik, ted ale nemam cas ho hledat ....

Kondr · 25. 04. 2008 01:04

$\sum_{i=1}^k i^3=\frac{k^2(k-1)^2}4$ (existuji spousty zpusobu, jak toto dokazat, napr. kdyz uz vzorec tahto "uhodneme", tak trivialni indukci....)
Proto $\sum_{i=1}^{4n-1} \frac{i^3}{n^4}=\frac{(4n-1)^2(4n-2)^2}{4n^4}$ .
Podíl polynomů stupně 4, vedoucí koeficient v čitateli 256, ve jmenovateli 4, výsledek 64.

Pavel.R · 25. 04. 2008 02:42

Diky moc, jeste bych potreboval poradit s timto prikladem.Tady ale vubec netusim jak postupovat, nedari se mi to upravit na nic rozumneho

$\lim_{n \rightarrow \inft} ( \frac{2^{\frac{1}{n}}}{n+\frac{1}{1}} + \frac{2^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}} +...+ \frac{2^{\frac{n}{n}}}{n+\frac{1}{n}} )$

Matematické Fórum

#1 24. 04. 2008 01:11

Limita integrálního součtu

#2 24. 04. 2008 12:15

Re: Limita integrálního součtu

#3 24. 04. 2008 22:19 — Editoval robert.marik (24. 04. 2008 22:24)

Re: Limita integrálního součtu

#4 24. 04. 2008 22:33

Re: Limita integrálního součtu

#5 25. 04. 2008 01:04

Re: Limita integrálního součtu

#6 25. 04. 2008 02:42

Re: Limita integrálního součtu

Zápatí