Matematické Fórum

Hanys · 02. 12. 2010 18:50

Máme tři nezávisle pracující přístroje. Náhodná veličina Xi udává dobu bezporuchové funkce i-tého přistroje a je popsána exponeciálním rozložením s parametrem $\lambda=1$ pro i=1,2,3. Vypočtěte pravděpodobnost současného nastoupení tří jevů spočívajících v tom, že první přístroj selže do dvou hodin, druhý mezi první a třetí hodinou provozu a třetí vydrží aspoň tři hodiny.

Výsledek: 0,0137

Už nad tím chvíli sedím. Samozřejmě jsem nejdřív přehédl, že počítám selhání a ne jak dloho vydrží bez poruchy. Ale ani jinak se nemohu dopracovat k výsledku. Bude náhodná veličina Y...poruchovost nějakou transformovanou veličinou? Nevím. Byl bych vděčný za radu.

Díky.

jelena · 02. 12. 2010 19:55

↑ Hanys:

Zdravím,

podle mého "selže do dvou hodin" je totež jak "vydrží bez poruchy do dvou hodin" - pokud je v tomto problém. U parametru $\lambda$ neuvádiš, co značí (počet poruch za jednotku času?), potom $\frac{1}{\lambda}$ je čas do poruchy - můžeš porovnat vzorce české anglické (nebo ruské) verze Wikipedie.

Jelikož v zadání je to $\lambda=1$ , tak ani na celkový vzorec F(X) žádný vliv nemá.

Je to, na co se ptáš?

Hanys · 03. 12. 2010 12:15

↑ jelena:

Děkuji za odpověď. Taky mi vyšlo, že "selže do dvou hodin" je to samé jako " vydrží bez poruchy do dvou hodin", i přes to, že se mi to zdálo divné, matematicky to bylo korektně.

U lambdy nemáme ani jasně definované co znamená, prostě parametr. To co Vy píšete jako 1/ lambda máme nadefinováno jako střední hodnotu.

Pokud máme hustotu pravděpodobosti fi(xi) = slovy lambda*e^(-lambda*x). Tedy pokud je lambda rovna jedné pak nám zbyde pouze e^-x. Omlouvám se, ale nedokázal jsem si poradit s TeXem..:)

Co se týče té první pracděpodobnosti "selže do dvou hodin" integroval jsem tedy hustotu pravděpodobnosti od 0 do 2, ale vychází mi -e^(-2) - 1...což nedává smysl. Ty další se mi samozřejmě nepodařilo vypočítat také. Někde mi něco uniká.

Děkuji.

jelena · 03. 12. 2010 12:23

↑ Hanys: děkuji.

Co je "lambda" bych nechala na vaše materiály - případně se poptat vyučujícího (už jsem viděla více různých písmen na tomto místě).

selže do 2 hodin - vychází $\int_0^2e^{-x}\rm{d}x=-e^{-2}-(-e^{0})$ je to tak? Děkuji.

Hanys · 03. 12. 2010 15:25

↑ Hanys:

Já jsem věděl, že jsem něco přehlédl, místo +1 jsem si dosadil -1...:) Takže mi to samozřejmě nedávalo smysl, protože pak pravděpodobnost byla víc jak 1. Podívám se na zbytek příkladu a dám vědět.

Děkuji.

Hanys · 03. 12. 2010 16:13

a) Tak tedy, že selže první přístroj do dvou hodin je výsledek, na kterém jsme se shodli.

b) U b jsem jsem měl problém stanovit interval veličiny Y2...porucha druhého přístroje.

Tedy stanovit to jako $P(1\leq Y_{2}\leq 3)neboP(1< Y_{2}< 3)$ ??

Stanovil jsem si ho jako tu první možnost a pravděpodobnosi jsem si vyjádřil takto: $1-(P(X_{1}\leq 1)\ast(1-P(X_{1}\leq 3))$ a dopracoval jsem se k $1+e^{-4}-e^{-3}$

c) Jsem si vyjádřil jako $P(X_{3}\geq 3)$ a integroval od 3 do nekonečna.

Nicméně kýženého výsledku jsem se nedopracoval...:((

jelena · 03. 12. 2010 17:46

↑ Hanys: děkuji.

a) souhlasím,

b) počítala bych integrál v mezích od 1 do 3,

c) souhlasím.

halogan

a) OK

b) Pokud máme spojitou (!) náhodnou veličinu, tak zde u pravděpodobností nemusíme odlišovat ostré/neostré nerovnosti, protože $P(k) = 0$ pro nějaké $k$ z S. Jde o to, že těch možných $k$ je nespočetně mnoho (oproti spočetnému počtu u diskrétek), takže bychom se nedopočítali jedničky, kdybychom to sčítali pro všechna k. Je to trochu chaoticky napsané, ale snad to pochopíte.

Pokud máte pravděpodobnost třeba $P(X < k, Y < l)$ , tak to se rovná $P(X < k) \cdot P(T < l)$ , pokud jsou $X$ a $Y$ nezávislé. Tady ale máme docela závislé veličiny... jde totiž stále o X. Musíme tedy, jak říká kolegyně jelena, integrovat od 1 do 3.

Ještě taková intuitivní vsuvka: Pokud bychom opravdu takto mohli násobit, tak si vemte třeba $P(X < 10, X > 10)$ . To je jasná nula, že? Pokud byste to ale počítal svým způsobem, tak dostanete násobek nějakých dvou nezáporných čísel. A to je spor.

Když si nejste jist postupem, tak můžete postupovat takto. Pokud je postup správný, tak musí fungovat vždy, za jakéhokoliv počasí, ... To se samozřejmě dost složitě dokazuje (navíc u písemky to je celkem náročné). Můžete si ale pomoci jinak — stačí najít jeden případ, kdy váš postup fungovat nebude (nějaký extrémní, jako píši zde) a už víte, že to je špatně. Já tu mám samozřejmě výhodu, protože jsem věděl předem, proč je to špatně, takže jsem spor našel snadno :-)

Nepodstatná vsuvka Zobrazit/skrýt!

Hanys · 03. 12. 2010 18:41

↑ halogan:

Děkuji za reakce. Chápu ty meze, nezávislost veličin a také nesmyslnost "intuitivní vsuvky". Nicméně nechápu, proč integrovat od 1 do 3. Kdybychon integrovali hustotu pravděpodobnosti náh. vel. X2, zjistíme přeci jaká je pravděpodobnost toho, že se přístroj v tomto intervalu neporouchá a my chceme pravděpodobnost, že se v tomto rozmezí porouchá. Tedy já bych si to vyjádřil přes opačné jevy. Tedy: $1-(P(X< 1)+P(X> 3))$

Jinak nevím..:)

jelena · 03. 12. 2010 19:03

↑ Hanys:

Podle zadání máme X - doba bezporuchovosti (totež "doba do selhání")

"první přístroj selže do dvou hodin" - počítali jsme, že selže v intervalu od začátku práce do konce 2. hodiny (tedy v mězích 0 až 2)

druhý selže mezi první a třetí hodinou provozu selže poté, co uplyne 1 hodina, ale ještě do konce 3. hodiny (tedy v mězích 1 až 3).

třetí vydrží aspoň tři hodiny. - selže poté, co uplyne 3 hodiny.

Tak nevím, u čeho tak rozvažuješ?

↑ halogan: někdo něco povídal o "být připraven" - zřejmě do jiného tématu, jen si nepamatuji, do kterého. Děkuji za pomoc.

halogan · 03. 12. 2010 19:10

↑ jelena:

OT: Kdybych to nebyl já, měla by historka ze statistiky trochu lepší nádech :-)

Hanys · 04. 12. 2010 12:48

Mrzí mne, že jsme strávily nad tím tolik času. Jádro problému tkvělo v tom, že jsem neměl úplně jasno v tom exponenciálním rozložení. Nyní, když jsem si to rozmyslel, všechno do sebe zapadlo tak jak mělo. Takže díky moc za pomoc..:)

jelena · 04. 12. 2010 19:11 — Editoval jelena (04. 12. 2010 19:56)

↑ Hanys: není za co, také děkuji i kolegovi↑ halogan:. Důležité, že je pochopeno. Téma označím za vyřešené.

Jen "strávilY" se nehodí pro tým řešitelů v tomto tématu :-) Zdravím.

EDIT: až teď přes jiné komunikační prostředky se dostalo jistého upřesnění... Děkuji za dnešní pozitivum.

Matematické Fórum

#1 02. 12. 2010 18:50

Náhodné veličiny - exponenciální rozložení

#2 02. 12. 2010 19:55

Re: Náhodné veličiny - exponenciální rozložení

#3 03. 12. 2010 12:15

Re: Náhodné veličiny - exponenciální rozložení

#4 03. 12. 2010 12:23

Re: Náhodné veličiny - exponenciální rozložení

#5 03. 12. 2010 15:25

Re: Náhodné veličiny - exponenciální rozložení

#6 03. 12. 2010 16:13

Re: Náhodné veličiny - exponenciální rozložení

#7 03. 12. 2010 17:46

Re: Náhodné veličiny - exponenciální rozložení

#8 03. 12. 2010 17:49 — Editoval halogan (03. 12. 2010 17:59)

Re: Náhodné veličiny - exponenciální rozložení

#9 03. 12. 2010 18:41

Re: Náhodné veličiny - exponenciální rozložení

#10 03. 12. 2010 19:03

Re: Náhodné veličiny - exponenciální rozložení

#11 03. 12. 2010 19:10

Re: Náhodné veličiny - exponenciální rozložení

#12 04. 12. 2010 12:48

Re: Náhodné veličiny - exponenciální rozložení

#13 04. 12. 2010 19:11 — Editoval jelena (04. 12. 2010 19:56)

Re: Náhodné veličiny - exponenciální rozložení

Zápatí