Matematické Fórum

andrea1974 · 06. 12. 2010 23:49

Prosím pomozte někdo s tímto příkladem ze střední školy, umím když prochází jedním bodem, ale když prochází třema - A, B, C, tak to mě opravdu dostalo!!!! :-), :-). díky moc předem za jakékoliv náznaky k řešení, ale nejlépe celý postup jak pro "blbečky", jsem už dlouho ze střední školy a doučuji sestru, takže prosím schovívavost :-).
Napište rovnici kružnice, která prochází body A, B, C a určete její střed a poloměr.
třeba za a) A(2, 1), B(3, 0), C(0, 5)
c) B( -1, 3), B(0, 2), C(1, -1)

řešení má být:
u a) (x-9)2 + (y-7)2 = 85 (samo tam má být na druhou - nezvládla jsem napsat správně :-))
u b) (x+4)2 + (y+1)2 = 25,
náznak prosím i jak vypočtu ten střed a poloměr, jsem opravdu ze střední dobrých skoro dvacet let - předem díky moc za pochopení a snahu mi pomoci.

gadgetka

a)
Obecná rovnice kružnice je $x^2+y^2+Mx+Ny+L=0$
Za x a y postupně dosaď souřadnice zadaných bodů a řeš jako soustavu tří rovnic o třech neznámých:
$A(2, 1),\ B(3, 0),\ C(0, 5)$

$(1)\ 4+1+2M+N+L=0\nl(2)\ 9+3M+L=0\nl(3)\ 25+5N+L=0$

$\rm{z}\ (2):\ L=-9-3M\nl\rm{do} (1):\ 5+2M+N-9-3M=0\nl\rm{do} (3):\ 25+5N-9-3M=0$

$(1)\ -M+N=4\nl(2)\ -3M+5N=-16$

$-3\cdot (1)+(2):\ 2N=-28\nlN=-14\nlM=N-4\Rightarrow M=-18\nlL=-9-3M\Rightarrow L=45$

$\rm{k}:\ x^2+y^2-18x-14y+45=0$

Když rovnici doplníš na čtverec, dostáváš středový tvar kružnice:
$(x-9)^2-81+(y-7)^2-49+45=0\nl(x-9)^2+(y-7)^2=85\nlS(9;7)\ r=\sqrt{85}$

Obecný tvar středové rovnice kružnice: $(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$ , kde $S(m,n)$

Cheop · 07. 12. 2010 08:02 — Editoval Cheop (07. 12. 2010 14:51)

↑ andrea1974:
b) Jiný způsob:
Rovnice kružnice ve středovém tvaru:
$(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$ $S(m,n)$
Dosadíme x-ové a y-ové souřadnice bodů A,B,C a dostaneme:
1) $(-1-m)^2+(3-n)^2=r^2$ - bod A
2) $(0-m)^2+(2-n)^2=r^2$ - bod B
3) $(1-m)^2+(-1-n)^2=r^2$ - bod C
1) $m^2+n^2+2m-6n+10=r^2$
2) $m^2+n^2-4n+4=r^2$
3) $m^2+n^2-2m+2n+2=r^2$
Odečtením rovnice 2) od rovnice 1) dostaneme:
4) $m^2+n^2+2m-6n+10=r^2\nl-m^2-n^2+4n-4=-r^2\nl2m-2n=-6\nlm-n=-3$
Odečtením rovnice 3) od 1) dostaneme:
5) $m^2+n^2+2m-6n+10=r^2\nl-m^2-n^2+2m-2n-2=-r^2\nl4m-8n=-8\nlm-2n=-2$
Máme 2 rovnice:
$m-n=-3\nlm-2n=-2\nlm-n=-3\nl-m+2n=2\nln=-1$
Dopočítáme m
$m-n=-3\nlm=n-3\nlm=-4$
$S=(-4;\,-1)$ - souřadnice středu kružnice
Dopočítáme poloměr
$m^2+(2-n)^2=r^2\nl(-4)^2+(2+1)^2=r^2\nlr^2=16+9\nlr^2=25$
$r=\sqrt{25}=5$ - poloměr kružnice

Rovnice kružnice je:
$(x+4)^2+(y+1)^2=25$

andrea1974 · 07. 12. 2010 10:12

↑ gadgetka:
díky moc už jsem "v obraze".

andrea1974 · 07. 12. 2010 10:22

↑ Cheop:

Tento postup je pro mě pochopitelnější a jednodušší, díky moc splnil jsi prosbu - jako pro "blbečky", zkus se prosím podívat ještě na ten druhý příklad - co jsem dala dnes, jinak vše se sešitama jsem zvládla, ale když nemáš postup, ani vzorce - jen zadání a výsledky, tak je to hooodně těžké. Díky moc předem Andrea.

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2010 23:49

analytické vyjádření kružnice

#2 07. 12. 2010 02:21 — Editoval gadgetka (07. 12. 2010 02:24)

Re: analytické vyjádření kružnice

#3 07. 12. 2010 08:02 — Editoval Cheop (07. 12. 2010 14:51)

Re: analytické vyjádření kružnice

#4 07. 12. 2010 10:12

Re: analytické vyjádření kružnice

#5 07. 12. 2010 10:22

Re: analytické vyjádření kružnice

Zápatí