Matematické Fórum

Grungy · 07. 12. 2010 12:00

ahojte potreboval by som vyriešiť takúto diferenčnú rovnicu $x_{n+1} = (a+b/n)x_n$ kde a,b sú reálne čísla.
Neviem či na to idem správne, ale pochopil som, že by som mal dostať niečo ako $x_{n+1} - x_n = nieco$ , aby to bola diferenálna rovnica.
Zatiaľ som to upravil do bodu keď $n*x_{n+1} - x_n(na-b) = 0$ ale neviem ako sa mám zbaviť toho "n".

Nenašiel by sa niekto kto by mi s tým vedel poradiť? A idem na to vôbec dobre?

pietro · 07. 12. 2010 13:38

↑ Grungy:Ahoj. Skúsiš odhadnúť vývoj ?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Grungy · 07. 12. 2010 14:50

Vyzerá to ako binomická veta $x_{n+1} = (a + zb)^n x_1$ , ale nech za to $z$ dávam hocičo koeficienty mi nesedia.

pietro · 07. 12. 2010 17:10

↑ Grungy:Nevyzerá to moc pekne , čo som dostal zo stroja...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Grungy · 07. 12. 2010 18:45

Tak s týmto sa už asi nedá pracovať, alebo sa mýlim?

Stýv · 07. 12. 2010 19:06

je-li (a+b)/a přirozený číslo, pak jde použít $\Gamma(n)=(n-1)!$

Marian · 08. 12. 2010 09:55 — Editoval Marian (08. 12. 2010 09:56)

↑ Grungy:↑ Stýv:

Pracovat se s tím dá. Jen je otázka, co se považuje za uzavřený tvar výsledku. Platí totiž (z definice funkce Gamma)

Vzhledem k tomu, že

$\Gamma\left (\frac{an+a+b}{a}\right )=\Gamma\left (n+\frac{a+b}{a}\right ),$

pak po substituci $x=\frac{a+b}{a}$ máme na základě předchozího

$x_n=a^n\cdot\frac{\Gamma\left (\frac{a+b}{a}\right )\cdot\prod_{s=0}^{n-1}\left (\frac{a+b}{a}+s\right)}{n!\cdot\Gamma\left (\frac{a+b}{a}\right )}\cdot x_1,$

pokud existuje hodnota $\Gamma\left (\frac{a+b}{a}\right )$ . Pokrácením dostáváme

$a^n\cdot\frac{\prod_{s=0}^{n-1}\left (\frac{a+b}{a}+s\right)}{n!}.$

Toto by se dalo zase zapsat ještě jinak (říkejme snad "prvoplánovitě zjednodušit"). Na druhou stranu bychom došli časem k původnímu problému, jak jednodušeji zapsat součin.

Závěr: Příliš s tvarem řešení nenaděláme.

Grungy · 08. 12. 2010 10:06

No pôvodná úloha je, že mám analyzovať riešenia tejto rovnice v závislosti od hodnôt $a$ $b$ ak $a+b>0$ . Tak som si myslel, že vyriešim diferenciálnu rovnicu, dostanem pekný výsledok a potom si podľa hodnôt a, b zistím ako sa to správa.

Takto ale neviem ani odhadnúť, ako sa to správa, iba ak by na to existoval nejaká "metóda".

Grungy · 15. 12. 2010 22:34

Z tej rovnice by mali vyjsť rovnice rozdelení pravdepodobností. Pokiaľ sa a=0, dá sa pekne odvodiť vzorec pre Poissonovo rozdelenie.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Problém je, že som sa zasekol v prípade, že a>0. Mal by som dostať binomické rozdelenie podobným spôsobom, ale neviem či na to idem dobre. Nemá niekto nejaký nápad?

$x_n = (a + b/n)x_{n-1}$
$a>0$
$x_n = (a+b/n)* ... *(a+b/2)*(a+b)*x_1$
$x_n = (a^n + b^n/n!)x_1$

Matematické Fórum

#1 07. 12. 2010 12:00

diferenčná rovnica

#2 07. 12. 2010 13:38

Re: diferenčná rovnica

#3 07. 12. 2010 14:50

Re: diferenčná rovnica

#4 07. 12. 2010 17:10

Re: diferenčná rovnica

#5 07. 12. 2010 18:45

Re: diferenčná rovnica

#6 07. 12. 2010 19:06

Re: diferenčná rovnica

#7 08. 12. 2010 09:55 — Editoval Marian (08. 12. 2010 09:56)

Re: diferenčná rovnica

#8 08. 12. 2010 10:06

Re: diferenčná rovnica

#9 15. 12. 2010 22:34

Re: diferenčná rovnica

Zápatí