Matematické Fórum

andrea1974 · 07. 12. 2010 18:38

Please to jsem zas já :-) ještě jeden příklad.

a)
Veďte bodem A [-3; 2] tečny ke kružnici, s rovnicí (x-3)2 + (y-10)2 = 9
bohužel výsledek nemám

b)
Veďte bodem A [3; 4] tečny ke kružnici, s rovnicí (x)2 + (y)2 = 25, kde bod A leží na kružnici
zde výsledek je, ale nevím jestli je správný???
3x + 4y - 25 = 0

prosím vás řešení pište jako pro blbečka :-) :-) :-) děkuji moc amějte se fajn

zdenek1 · 07. 12. 2010 22:27

↑ andrea1974:
k a) si prostuduj toto

b) je dobře

Cheop · 08. 12. 2010 08:58 — Editoval Cheop (08. 12. 2010 09:07)

↑ andrea1974:
a)
Tečna k uvedené kružnici: $(x-3)^2+(y-10)^2=9$ bude mít tvar $y=kx+q$ - směrnicový tvar přímky
Protože tečna prochází bodem $A=(-3;\,2)$ dosadíme souřadnice bodu do předpisu tečny tedy:
$2=-3k+q\nlq=3k+2$
Rovnice tečny bude:
$y=kx+3k+2$
Tento výraz dosadíme do rovnice kružnice a dostaneme:
$(x-3)^2+(kx+3k+2-10)^2=9\nl(x-3)^2+(kx+3k-8)^2=9$ - úpravou (tu máš za domácí úkol) dospějeme k rovnici:
$x^2(k^2+1)+x(6k^2-16k-6)+9k^2-48k+55=0$
Protože námi hledaná přímka je tečnou kružnice, potom má s kružnicí jeden společný bod.
Kvadratická rovnice má jeden dvojnásobný kořen v případě, že diskriminant této rovnice = 0 ( a to je náš případ)
Této skutečnosti využijeme pro hledání našeho k. Bude tedy platit:
$D:\,(6k^2-16k-6)^2-4(k^2+1)(9k^2-48k+55)=0$ - úpravou dospějeme ke kv. rovnici:
$27k^2-96k+55=0\nlk_1=\frac{16+\sqrt{91}}{9}\nlk_2=\frac{16-\sqrt{91}}{9}$ - vidíme, že tečny budou 2
k_1 resp. k_2 dosadíme do předpisu $y=kx+3k+2$
$t_1:y=\left(\frac{16+\sqrt{91}}{9}\right)x+\frac{16+\sqrt{91}}{3}+2\nl25,539x-9y+94,618=0$
$t_2:y=\left(\frac{16-\sqrt{91}}{9}\right)x+\frac{16-\sqrt{91}}{3}+2\nl6,46x-9y+37,382=0$
Rovnice tečen:
$t_1:\,25,539x-9y+94,618=0\nlt_2:\,6,46x-9y+37,382=0$