Matematické Fórum

mikl3 · 07. 12. 2010 21:38 — Editoval mikl3 (08. 12. 2010 06:46)

dobrý den, dneska byl den, kdy se psaly matematické olympiády, já bych měl dotaz (pokud neporušuji pravidla, ale už snad ne)
měli jsme dokázat, že pro dvě libovolná prvočísla větší než 2 platí tohle
$\frac{p}{q}-\frac{q}{p}>\frac{4}{sqrt{pg}}$ ta levá strana je v abst.hod
tak já jsem si to upravil $\frac{p^2-q^2}{pq}>\frac{4}{sqrt{pg}}$ vznikne $\frac{p^2-q^2}{sqrt{pq}}>4$ (odm z pq je vždy kladná)
nejmenší prvočísla jsou 3 a 5. zkouškou to pro ně platí, ale jak to dokázat? nejmenší rozdíl mezi p-q (abst hodnota) je 2
zkusil jsem si i vyjádřit q jako p a opačně, pro ty nejbližší prvočísla
$\frac{p^2-q^2}{sqrt{pq}}>4$
$p=q+2$
a vyšlo mi $\frac{q^2+2q+1}{q^2+2q}>1$ což je vždy větší než jedna, ať si tam dosadím jakékoliv prvočíslo
nebo pro teda krajní prvočísla 3,5
$\frac{p^2-q^2}{sqrt{pq}}>4$
$\frac{16}{sqrt{15}}>4$ to také platí rozdíl druhých mocnin těchto prvočísel (abst. hod.) je vždy větší než 16
mohu si to upravit do tvaru kdy na nějaké straně je nula, ale to je defacto to samé

nemám moc zkušeností s dokazováním, nevím proto, co stačí a co nedokazuje
děkuji každému za příspěvek