Matematické Fórum

PeetPb · 10. 12. 2010 16:44

zdravim, zaujimalo by ma ako dokazt tvrdenie $(\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$
dakujem

FailED · 10. 12. 2010 16:58

Ahoj, zkus si to dosadit do definice derivace a upravit.

jarrro · 10. 12. 2010 16:59

najprv dokázať deriváciu súčinu a potom deriváciu prevrátenej hodnoty

PeetPb · 10. 12. 2010 17:10

$lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ $lim_{h\rightarrow0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}=lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{g(x+h)g(x)h}$ takto nejako ? mam pocit ze tam mam niekede chybu

a ohladom toho sucinu $lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$ ?

jarrro · 10. 12. 2010 18:10 — Editoval jarrro (10. 12. 2010 18:12)

↑ PeetPb:súčin $\lim_{h\to0}{\frac{f\left(x+h\right)g\left(x+h\right)-f\left(x\right)g\left(x\right)}{h}}=\lim_{h\to0}{\frac{g\left(x+h\right)\left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}}=\nl=\lim_{h\to0}{g\left(x+h\right)}\cdot\lim_{h\to0}{\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}+f\left(x\right)\cdot\lim_{h\to0}{\frac{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}}$
a prevrátená hodnota
$\lim_{h\to0}{\frac{\frac{1}{g\left(x+h\right)}-\frac{1}{g\left(x\right)}}{h}}=\lim_{h\to0}{\frac{\qquad\frac{g\left(x\right)-g\left(x+h\right)}{g\left(x+h\right)g\left(x\right)}\qquad}{h}}=\lim_{h\to0}{\frac{\qquad\frac{g\left(x\right)-g\left(x+h\right)}{h}\qquad}{g\left(x+h\right)g\left(x\right)}}$ odtiaľ z existencie deriváciíí tých funkcií a zo spojitosti derivovateľnej funkcie plynie
$\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)^{\prime}=f^{\prime}\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g^{\prime}\left(x\right)\nl\left(\frac{1}{g\left(x\right)}\right)^{\prime}=-\frac{g^{\prime}\left(x\right)}{g^2\left(x\right)}$
a odtiaľ použitím pravidla o derivovaní súčtu na funkcie f a 1/g dostaneme dokazované tvrdenie

PeetPb · 10. 12. 2010 19:15

↑ jarrro: dakujem za vysvetlenie uz chapem :)

Matematické Fórum

#1 10. 12. 2010 16:44

Derivacia podielu

#2 10. 12. 2010 16:58

Re: Derivacia podielu

#3 10. 12. 2010 16:59

Re: Derivacia podielu

#4 10. 12. 2010 17:10

Re: Derivacia podielu

#5 10. 12. 2010 18:10 — Editoval jarrro (10. 12. 2010 18:12)

Re: Derivacia podielu

#6 10. 12. 2010 19:15

Re: Derivacia podielu

Zápatí