Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Zdravím!
kdybych vydělil každé přirozené číslo každým přirozeným číslem, bylo by více výsledků racionálních nebo iracionálních?
Bylo by více výsledků periodických nebo neperiodických?
Nemám ani potuchy jak to vyřešit, nevím jak moc je to složité. Nepotřebuji to do školy, dávám to sem jako úlohu pro ostatní a proto, že mě zajímá řešení.
Offline
↑ Mikulas:
Vzhledem k tomu, že podíl dvou přirozených čísel je vždy číslo racionální, tak odpověď je jasná.
Offline
↑ Mikulas: nevím, co tím myslíš
čísla racionální (výsledky z dělení, o kterém píšeš výše) mají ukončený desetinný rozvoj (popř. periodický), můžeme je zapsat i lobovolným počtem zlomků
vyjdou nám jen čísla racionální, to víme...
množina čísel reálných se skládá z podmnožin čísel racionálních a iracionálních
z charakteristiky čísel racionálních vyplývá jasná odpoveď na otázku (čísla racionální mají ukončený desetinný rozvoj)
Offline
↑ Mikulas:
Bude jich stejně. A to přesně tolik, kolik je přirozených čísel.
Offline
↑ zdenek1:
mohu se zeptat jestli toto tvrzení vyvracuje mé, nebo jakou to má spojistost? děkuji
původní dotaz se změnil, ale jádro zůstává stejné
tedy číslo periodické považujeme za číslo s nekonečným desetinným rozvojem (ano má nekonečně mnoho desetinných míst, ale nespadá do čísel iracionálních)? pak mě napadá dělení: nekonečný neperiodický, nekonečný periodický, konečný...
Offline
Offline
↑ mikl3:
Není bohužel pravda, že "racionální čísla mají ukončený desetinný rozvoj" (alespoň tedy pokud chápu správně význam slova "ukončený"). Vždyť přece je také racionální číslo. Přesné tvrzení tedy je, že racionální čísla mají od určitého místa v desetinném rozvoji tento rozvoj periodický (mezi což zahrnuji i to, že se tam opakují už jen samé nuly).
Otázka "kterých je více?" je poněkud zrádná (alespoň bych tipl, že pro středoškoláky bude). Obě množiny jsou totiž nekonečné a není úplně jasné, kdy je nějaké "nekonečno" "větší" než jiné "nekonečno". Asi nejrozumnější způsob, jak to v této situaci vyjádřit, je pomocí mohutností množin. Lze ukázat, že obě tyto množiny mají stejnou mohutnost (obě totiž jsou nekonečné podmnožiny množiny racionálních čísel (kterážto je spočetná), tím pádem jsou spočetné, neboli obě mají stejnou mohutnost jako množina přirozených čísel).
Offline
Ano, dá se říct, že obě množiny jsou nekonečné spočetné a problém je vyřešen.
Ale mohli bychom snad chtít víc. Můžeme například zjistit poměr počtu přirozených čísel, která jsou dělitelná 5, k těm ostatním? Je to 1:4 ?
Lze nejdřív určit poměr pro konečnou podmnožinu přirozených čísel, dejme tomu pro všechna n<N, a pak v limitě N->oo ukázat, že ten poměr k něčemu konverguje.
Nedal by se podobmý postup (s určitým upřesněním zadání) aplikovat i na původní Mikulasův problém?
Offline
PS: Problém, který se tomuto aspoň vzdáleně podobá je zde. Také se v něm zkoumá mohutnost jedné nekonečné množiny v rámci jiné, i když předmět zkoumání je jiný...
Offline