Matematické Fórum

Joerex · 10. 12. 2010 19:25

Zdravím,mám tu 3 vzorce derivací a potřebuji je odvodit,ale vubec nevím jak na to...
1) arcsin(x) - zde se má použít věta o derivaci inverzní funkce?
2) loga x - acko je s dolnim indexem
3) tgx

Díky,za pomoc.

Oxyd · 10. 12. 2010 19:31

1) a 2) se dají odvodit přes vzorec pro derivaci inverzní funkce a 3) je derivace podílu sin x / cos x. Pokud teda máš odvozené -- nebo můžeš použít -- tyhle vzorce, mělo by to být snadné.

Joerex · 10. 12. 2010 20:12

↑ Oxyd:

Jak by vypadlo to první odvození? Abych aspoň viděl jak se to dělá,zbytek se pokusím udělat sám.

Oxyd · 10. 12. 2010 20:23 — Editoval Oxyd (10. 12. 2010 20:24)

Podle vzorce pro derivaci inverzní funkce máme

$\left( \arcsin x \right)' = \frac{1}{ \sin' (\arcsin x) } = \frac{1}{ \cos (\arcsin x) } = \frac{1}{ \sqrt{1 - \left(\sin(\arcsin x)\right)^2 }} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ .

Chyták je možná v tom, že v tom prvním jmenovateli není derivace složené fce ale derivace sinu v bodě arcsin x. (Možná by to šlo lépe zapsat jako $\left( \sin' \circ \arcsin \right) (x)$ , kde kolečko je skládání fcí.) Taky je dobré si uvědomit, že díky tomu, že arcsin nabývá hodnot od -pi/2 do pi/2, tak cos(arcsin(x)) nabývá jenom nezáporných hodnot, takže si tam můžu dovolit tu srandu s odmocninou, protože je $0 \le \cos(\arcsin x) = \sqrt{ \left( \cos (\arcsin x) \right)^2 }$ .

Joerex · 11. 12. 2010 15:08

↑ Oxyd:
tgx jsem vyřešill,ale pořád dumám nad tim logaritmem...inverzní funkce k němu je a^x jenže se nemůžu dopídit k tomu 1/(x ln a)

Oxyd · 11. 12. 2010 15:37

↑ Joerex:

Nejvhodnější asi bude nejdřív přepsat $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ a derivovat to až pak. Derivace přirozeného logaritmu se přes větu o derivaci inverzní fce už odvodí docela snadno.

Matematické Fórum

#1 10. 12. 2010 19:25

Odvození vzorců pro derivaci

#2 10. 12. 2010 19:31

Re: Odvození vzorců pro derivaci

#3 10. 12. 2010 20:12

Re: Odvození vzorců pro derivaci

#4 10. 12. 2010 20:23 — Editoval Oxyd (10. 12. 2010 20:24)

Re: Odvození vzorců pro derivaci

#5 11. 12. 2010 15:08

Re: Odvození vzorců pro derivaci

#6 11. 12. 2010 15:37

Re: Odvození vzorců pro derivaci

Zápatí