Matematické Fórum

Joerex · 10. 12. 2010 19:26

Mám dokázat identitu tohodle:

arcsin(x) + arccos(x) = pi/2

Může mi prosim vás někdo říct jak se to dělá?Vidím to poprvé v životě :)

maly_kaja_hajnejch-Lazov · 10. 12. 2010 19:47

zkuste vyuzit identitu cos(pi/2-alpha)=sin(alpha)

Joerex · 10. 12. 2010 20:06

↑ maly_kaja_hajnejch-Lazov:

rád bych,ale jak? Pořád nevím k čemu se má dojít či jak postupovat...

maly_kaja_hajnejch-Lazov · 10. 12. 2010 20:36

Oznacme treba: arcsin(x) = beta, potom plati sin(beta)=x

podobne arccos(x)=gamma znamena cos(gamma)=x

A potom staci se pohrat s tema rovnicema. Je to zabava, trosku jako krizovka nebo Sudoku, tak uz Vam to dal nesmim prozrazovat.

Marian · 11. 12. 2010 14:33 — Editoval Marian (11. 12. 2010 14:35)

↑ Joerex: Vzhledem k tomu, že nepíšeš, jakého aparátu máme užít, předkládám ještě tuto úvahu.

Definujme f(x):=arcsin(x)+arccos(x). Z definice těchto dvou funkcí a z definice derivace inverzních funkcí (arcsin vs. sin, arccos vs. cos) je známo, že platí

$f^\prime (x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad\qquad x\in (-1,1).$

Odtud plyne, že pro všechna studovaná čísla $x$ platí $f^\prime (x)=0$ . Podle věty o střední hodnotě funkce (její předpoklady jsou zde splněny) plyne dále, že funkce $f(x)$ je konstantní na $x\in (-1,1)$ . Proto stačí spočítat fukční hdonotu pro jediné $x_0\in (-1,1)$ a dostaneme tak i funkční hodnoty v ostatních (méně příjemných) bodech daného intervalu. Volme třeba $x_0=0\in (-1,1)$ . Potom

$f(0)=\arcsin (0)+\arccos (0)=0+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.$

Odtud již konečně (a ze spojitosti funkce f(x)) dostáváme dokazovanou identitu

$\arcsin (x)+\arccos (x)\equiv \frac{\pi}{2},\qquad\qquad x\in (-1,1).$

Krátkou diskuzí lze ošetřit i krajní body intervalu $(-1,1)$ , to již nechávám případně tobě.