Matematické Fórum

Alesak · 26. 04. 2008 10:41

ahoj,
nedavno sem v polakovi narazil na zajimavou vetu. kdyz mame reseni x0 polynomu P n-tyho stupne, a cislo x0 nalezi N, tak plati ze a0 deli x0(a0 je posledni clen). asi by to slo zapsat takle:

$P(x_0) = 0, x_0 \in N : a_0/x_0$

jeste plati, kdyz x0 je racionalni cislo a de vyjadrit ve tvaru x0 = p/q

$P(x_0)=0, x_0 \in Q :a_0/p\wedge a_n/q$

zajimalo by me, nejde to nejak jednoduse dokazat nebo vysvetlit?

Paulus · 26. 04. 2008 13:07 — Editoval Paulus (26. 04. 2008 13:41)

No napadlo mě tohle: At je teda P(x) polynom, pro který platí, že má n+1 kořenů (označíme je $\alpha_n, \alpha_{n-1}, \ldots, \alpha_0$ ), pak jde rozepsat:
$P(x)=\underbrace{(x-\alpha_n)\cdot(x-\alpha_{n-1})\cdot\ldots\cdot(x-\alpha_0)}_{n+1\quad {\rm korenu}}=x^{n+1}+\ldots\pm \alpha_n\alpha_{n-1}\ldots \alpha_0$ .
U členu $x^{n+1}$ je koeficient 1, u dalších členů nevíme a poslední (lineární) člen vzniknul jako součin všech kořenů. Ty jsi si ten lineární člen označil $a_0$ . Snad je vidět, že je dělitelný všemi kořeny.

S tím racionálním číslem $\frac pq$ by to mělo být vidět taky. Celý polynom je roznásobený tím q ve jmenovateli. Tudíž se s ním vynásobí i člen u $x^{n+1}$ . Platí pak, že $q|a_{n+1}\quad \wedge\quad p|a_0$ , kde $a_{n+1}$ je koeficient u členu $x^{n+1}$ .

Oprava: polynom, který má n+1 kořenů, más samozřejmě stupen n+1

robert.marik

P(x) polynom , c koren. tj. P(c)=0

$P(x)=a_nx^n+\cdots+a_2 x^2 + a_1 x + a_0$

$P(c)=a_nc^n+\cdots+ a_2 c^2 + a_1 c + a_0$

$0=a_nc^n+\cdots+a_2 c^2 + a_1 c + a_0$

$a_0=-\left(a_nc^n+\cdots+a_2 c^2 + a_1 c\right)$

napravo se da vyknout c a pokud jsou vechny a_i cela cisla (coz je dulezity predpoklad te vety), zustane v zavorce cele cislo. Proto je c delitelem a_0

robert.marik · 26. 04. 2008 13:18

↑ Paulus:
pokud je korenu n+1, je stupen polynomu taky n+1

Paulus · 26. 04. 2008 13:42

↑ robert.marik:
Ano, tak jsem to nějak opravil. Z tvýho postupu je to ale vidět líp.

Alesak · 26. 04. 2008 13:58

aha, nebylo to tak slozity. dik

robert.marik

↑ Paulus:
Nejenom lip, ale kdyz si clovek uvedomi, ze nektere koreny vubec cele nebo racionalni nebo realne byt nemusi, tak urcite nelze souhlasit s tvrzenim "Snad je vidět, že je dělitelný všemi kořeny." Pozor na to!

robert.marik · 26. 04. 2008 14:20

↑ Paulus:
Jejda, ani jsem si neviml: ono to tvrzeni je naopak. Ne ze abxolutni clen deli koren, ale absolutni clen ej delitelny korenem, tj. koren deli absolutni clen.

viz http://old.mendelu.cz/~marik/mat-web/ma … 4-120002.2 prvni veta na strance (koeficienty jsou oindexovane pozpatku, proto tam je a_n misto a_0)

Paulus · 26. 04. 2008 14:51

↑ robert.marik:
Už jsem se chtěl bránit, ale ted mi to došlo. O dělitelnosti má smysl mluvit jen u celých čísel... Takže to co píšu by asi platilo jen pro polynomy s celočíselnými kořeny. Navíc mi tam chybí koeficient u členu x^(n+1)

robert.marik · 26. 04. 2008 15:29

↑ Paulus:
Presne tak, proto v predpokladech musi byt ze koeficienty jsou cela cisla a tohle tam puvodnimu tazateli uplne chybelo.

To co jsem napsal je takovy klasicky dukaz ktery je snad ve vsech ucebnicich. Proste jsem si ten trik pamatoval. Ale ocenuji snahu dokazat to sám od sebe :) Na tomhle se totiž člověk matiku nejlíp naučí. Proto jsem taky (i když poněkud neurvale a s překlepy, protože ve velkém spěchu) poukázal na tu logickou chybu.

Alesak · 26. 04. 2008 16:19

ted kdyz sem si to procital jeste jednou, vsim sem si jak se daji snadno odvodit vietovy vzorce

$x^2 + px + q = (x - x_1)(x-x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$
$- (x_1 + x_2) = p$
$x_1x_2 = q$

wow.

Matematické Fórum

#1 26. 04. 2008 10:41

Důkaz tvrzení

#2 26. 04. 2008 13:07 — Editoval Paulus (26. 04. 2008 13:41)

Re: Důkaz tvrzení

#3 26. 04. 2008 13:14 — Editoval robert.marik (26. 04. 2008 13:15)

Re: Důkaz tvrzení

#4 26. 04. 2008 13:18

Re: Důkaz tvrzení

#5 26. 04. 2008 13:42

Re: Důkaz tvrzení

#6 26. 04. 2008 13:58

Re: Důkaz tvrzení

#7 26. 04. 2008 14:14 — Editoval robert.marik (26. 04. 2008 14:15)

Re: Důkaz tvrzení

#8 26. 04. 2008 14:20

Re: Důkaz tvrzení

#9 26. 04. 2008 14:51

Re: Důkaz tvrzení

#10 26. 04. 2008 15:29

Re: Důkaz tvrzení

#11 26. 04. 2008 16:19

Re: Důkaz tvrzení

Zápatí