Matematické Fórum

byk7 · 11. 12. 2010 10:49

Zdravím,
na fóru jsem našel Saturdayův vzorec
$$\big(f(x)\big)^{g(x)}$'=g(x)\big(f(x)\big)^{g(x)-1}+\big(f(x)\big)^{g(x)}\ln\big(f(x)\big)g'(x)=\big(f(x)\big)^{g(x)}$g'(x)\ln\big(f(x)\big)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}$$

ale nějak se nepochytil důkaz tohoto tvrzení.

Mohl by mi to nekdo osvětlit?
Děkuji

Pavel Brožek · 11. 12. 2010 11:06

↑ byk7:

Přepíšeš si mocninu ( $a^b=\mathrm{e}^{b\cdot\ln a}$ ) a derivuješ jako složenou funkci.

Pavel Brožek · 11. 12. 2010 11:53

Když už jsme u Saturdayova vzorce, tak podle mě nespočívá v tomto konkrétním vzorečku, ale v tom, že funkci na funkci derivujeme tak, že to nejprve derivujeme jakoby byl mocněnec konstanta a pak k tomu přičteme derivaci, kterou počítáme tak, jako by byl mocnitel konstantní. Vzorec pak už z této mnemotechnické pomůcky sám vyplyne. Dal by se tedy shrnout:

$$f(x)^{g(x)}$'=$\frac{\mathrm{d} c^{g(x)}}{\mathrm{d} x}$_{c=f(x)}+$\frac{\mathrm{d} f(x)^{c}}{\mathrm{d} x}$_{c=g(x)}$

Dovolil bych si ještě malé zobecnění Saturdayova vzorce, které mě napadlo díky Olinovu příspěvku (asi by se dalo lépe zformulovat):

Složitou funkci $f(x)$ , v jejímž vyjádření pomocí jiných funkcí se x vyskytuje na n různých místech, můžeme derivovat následovně:

1. Na všech místech výskytu x ve funkci f(x) kromě prvního nahradíme x konstantou c. Poté funkci zderivujeme podle x a za c dosadíme x.
2. Na všech místech výskytu x ve funkci f(x) kromě druhého nahradíme x konstantou c. Poté funkci zderivujeme podle x a za c dosadíme x.
…
n. Na všech místech výskytu x ve funkci f(x) kromě n-tého nahradíme x konstantou c. Poté funkci zderivujeme podle x a za c dosadíme x.

Výsledky z bodů 1 až n sečteme a dostaneme tak derivaci funkce f(x) podle x.

Jednoduchým důsledkem pro $n=2$ a $f(x)=f_1(x)^{f_2(x)}$ pak je klasický Saturdayův vzorec.

Důkaz zobecněného Saturdayova vzorce:

Funkci f(x) můžeme přepsat jako funkci n proměnných, kde proměnné jsou funkcemi x (přitom funkce $x_1$ až $x_n$ jsou identické funkce):

$f(x)=F(x_1(x),x_2(x),\ldots,x_n(x))$

Derivujeme jako funkci více proměnných:

$\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d} F(x_1(x),x_2(x),\ldots,x_n(x))}{\mathrm{d}x}=\sum_{i=1}^n\frac{\partial F(x_1(x),x_2(x),\ldots,x_n(x))}{\partial x_i}\cdot\frac{\mathrm{d}x_i(x)}{\mathrm{d}x}=\nl =\sum_{i=1}^n\frac{\partial F(x_1(x),x_2(x),\ldots,x_n(x))}{\partial x_i}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=\sum_{i=1}^n\frac{\partial F(x_1(x),x_2(x),\ldots,x_n(x))}{\partial x_i}$

Toto však přesně říká dokazovaná věta.

byk7 · 11. 12. 2010 14:04 — Editoval byk7 (11. 12. 2010 14:14)

↑ BrozekP:

díky za zobecnění, asi mi bude ještě chvilku trvat než to pochopim, ale děkuji

Edit:

toto by mohla být pro změnu BrozekP-ova věta :-)
nebo už jsi to nějak nazval?

Pavel Brožek · 11. 12. 2010 14:33

↑ byk7:

To ne, raději bych volil název „Zobecněný Saturdayův vzorec“ :-).

byk7 · 11. 12. 2010 14:41

↑ BrozekP:

ale Kosinová věta se taky nenazývá "Zobecněná Pythagorova věta" (určitě bych našel i další případy :-)

takže bych spíš hlasoval pro můj návrh

BakyX · 11. 12. 2010 16:17

↑ BrozekP:

Si si istý, že to ešte nebolo takto zovšeobecnené, že to už pomenovávate ?

Stýv · 15. 12. 2010 14:18

není to náhodou obyčejný řetízkový pravidlo?

Pavel Brožek · 15. 12. 2010 14:26

↑ Stýv:

Je :-)

Matematické Fórum

#1 11. 12. 2010 10:49

Saturdayův vzorec

#2 11. 12. 2010 11:06

Re: Saturdayův vzorec

#3 11. 12. 2010 11:53

Re: Saturdayův vzorec

#4 11. 12. 2010 14:04 — Editoval byk7 (11. 12. 2010 14:14)

Re: Saturdayův vzorec

#5 11. 12. 2010 14:33

Re: Saturdayův vzorec

#6 11. 12. 2010 14:41

Re: Saturdayův vzorec

#7 11. 12. 2010 16:17

Re: Saturdayův vzorec

#8 15. 12. 2010 14:18

Re: Saturdayův vzorec

#9 15. 12. 2010 14:26

Re: Saturdayův vzorec

Zápatí