Matematické Fórum

S.Moninka · 11. 12. 2010 13:55

zdravím, mám vyšetřit průběh funkce f(x)=2(x^2)-ln(x) a mám limitně určit derivace v bodech D(f)\D' ,kde D' značíme definiční obor derivace, děkuju za pomoc

Marian · 11. 12. 2010 14:25 — Editoval Marian (11. 12. 2010 14:57)

↑ S.Moninka:

nepozorně přečtené zadání dává nesprávné poznámky k řešení Zobrazit/skrýt!

S.Moninka · 11. 12. 2010 14:54

znamená to množinové minus, a ten tvar znám jenom mi to prostě nějak nesedělo s bodama 0 a "nekonečno" což jak jsem pochopila nemá smysl v tomhle případě řešit

Marian · 11. 12. 2010 15:02

↑ S.Moninka:

Špatně jsem přečetl a pochopil úlohu.

Takže pokud jsme schopni zderivovat, dostaneme derivaci ve tvaru $f^\prime (x)=4x-\frac{1}{x}$ . Mate mě trochu pojem "definiční obor derivace". Definiční obor derivace by měl být podmnožinou definičního oboru funkce (záleží na interpretaci a přesné definici pojmu, která se zde nenabízí).

Jediným zajímavým bodem bude bod $x=0$ . Protože však neleží ani v definičním oboru funkce, nemusíme podle zadání studovat povahu derivace v jeho okolí.

Snad jsem to pochopil nyní již správně.

S.Moninka · 11. 12. 2010 15:06

dobře, děkuju a mohla bych mít ještě dotaz k asymptotám? jak to bude s nimi, tam se to také počítá pomocí limity a nějak se v tom ztrácím

Marian · 11. 12. 2010 15:22

↑ S.Moninka:

Asymptoty bez směrnice má smysl hledat v tomto případě pouze v levém krajním bodě intervalu, tj. v bodě $x_0=0$ . Vyšetření se provede výpočtem limity v tomto bodě (vzhledem k definičnímu oboru to bude jednostranná limita - zprava). Dostaneme

$\lim_{x\to 0^+}(2x^2-\ln (x))=2\cdot 0^2-\lim_{x\to 0^+}\ln (x)=-(-\infty)=+\infty.$

Limita není vlastní, tedy asymptota bez směrnice existuje a má rovnci $a:\quad x=0$ . Asymptota se směrnicí existovat nemůže, neboť pro její směrnici bychom museli spočítat, že existuje vlastní limita

$\lim_{x\to +\infty}\quad \frac{2x^2-\ln (x)}{x}.$

Ovšem snadno se ukáže (třeba pomocí l'Hospitalova pravidla), že i tato limita je nevlastní, což vylučuje existenci asymptoty se směrnicí.

S.Moninka · 11. 12. 2010 15:37

Děkuju moc za pomoc :)

S.Moninka · 11. 12. 2010 15:40

Tedy jestli bych ještě mohla mít jeden dotaz ohledně spojitosti. Např. v tomhle případě není funkce spojitá v bodě 0 jinak na svém definičním oboru ano, je to správně? a v případě, že mám funkci arctan((x+1)/(x-1)), jak to bude tam se spojitostí? To je ještě poslední věc, která mi není tak úplně jasná

made001 · 11. 12. 2010 16:00

Ta první funkce je spojita pro x>0. Její derivace je spojitá na celém R kromě nuly. Druhá funkce už je trochu složitější.

S.Moninka · 11. 12. 2010 16:31

Ano, v tom druhém případě je to horší, mohl by mi tedy někdo pomoci s výpočtem asymptoty funkce y=arctg((x+1)/(x-1)) a ještě to limitní určení derivace v bodech D(f)\D' byla bych moc vděčná, ostatní věci ohledně průběhu této funkce už mám, potřebuji pouze tyto dva poslední úkoly

jelena · 12. 12. 2010 12:14

↑ S.Moninka:

Zdravím, na novou úlohu (s arctg) založ si, prosím samostatné téma - tak se to ztratilo.

Tedy pokud pro výpočet asymptoty nepomůže úprava argumentu arctg:

(x+1)/(x-1)=(x-1+2)/(x-1)=1+(2/(x-1))

Matematické Fórum

#1 11. 12. 2010 13:55

Jak limitně určit derivaci v bodech

#2 11. 12. 2010 14:25 — Editoval Marian (11. 12. 2010 14:57)

Re: Jak limitně určit derivaci v bodech

#3 11. 12. 2010 14:54

Re: Jak limitně určit derivaci v bodech

#4 11. 12. 2010 15:02

Re: Jak limitně určit derivaci v bodech

#5 11. 12. 2010 15:06

Re: Jak limitně určit derivaci v bodech

#6 11. 12. 2010 15:22

Re: Jak limitně určit derivaci v bodech

#7 11. 12. 2010 15:37

Re: Jak limitně určit derivaci v bodech

#8 11. 12. 2010 15:40

Re: Jak limitně určit derivaci v bodech

#9 11. 12. 2010 16:00

Re: Jak limitně určit derivaci v bodech

#10 11. 12. 2010 16:31

Re: Jak limitně určit derivaci v bodech

#11 12. 12. 2010 12:14

Re: Jak limitně určit derivaci v bodech

Zápatí