Matematické Fórum

Edy · 13. 12. 2010 18:45

Zdravím,
Počítám příklad v geometrické posloupnosti a mám čtverec o straně 'a', který má v sobě další čtverec, který má vrcholy v polovině strany 'a' toho prvního, a tak stále dokola, jedná se o nekonečnou řadu posloupnosti. Mám vypočítat Obsah a Obvod těchto čtverců.
Věc, která mi furt nejde do hlavy je, jak je to s těma uhlopříkama, přes který zjistím stranu toho měnšího, vepsanýho čtverce.
Vím, že uhlopříčka je $a\sqrt2$ , ale mám v tom prostě zmatek. A když to počítám přes pythagorovu větu, výjde mi vždycky něco jinýho.

Mohl by mi prosím někdo vysvětlit jak to vypočítat? přes uhlopříčku a přes pyth. větu?
díky

Maxim K · 13. 12. 2010 19:01

Ahoj.
Jestli jsem dobre pochopil, tva otazka se tyka pouze vypoctu strany vepsaneho ctverce.
Zacneme u prvniho. Nas zakladni ctverec ma stranu a. Vrcholy vepsaneho ctverce jsou vzdy v polovine jeho stran. Tudiz vzdalenost vrcholu vepsaneho ctverce od vrcholu zakl. ctverce je $a/2$ .
Pythagorova veta nam pomuze odvodit stranu vepsaneho ctverce, kterou ted nazvu X.
$X^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2$
Tudiz je jasne, ze se o zadne uhlopricky nejedna. Uz je to trochu jasnejsi?

Edy · 13. 12. 2010 19:21

No ve škole jsme to dělali i nějak pomocí úhlopříčky. např obvod $4a + 4a\sqrt2/2=2a\sqrt2 + 4a/2=2a +$ atd. ne? Teď už jsem to možná pochopil.
Ale furt mám zmatek v té pyth. větě. vyšlo ti to X jako $a^2/2 nebo 8a^2$ ?

Maxim K · 13. 12. 2010 19:28

Pokud dobre vidim, v tvem prikladu na vypocet obvodu pouzivas znovu jen hodnotu, ktera se vypocte "nasim zpusobem" - tedy pres pythagorovu vetu.
Mne ta strana vysla $sqrt2a/2$ .
Obvod ctverce je 4a. Kdyz se podivas na tvuj priklad s "uhloprickou", je tam jasne videt, ze jsi jen nasobil prave tu hodnotu, ktera mi vysla pro stranu toho vepsaneho ctverce. Ono, prakticky, dalsi vepsany ctverec (tedy 2. vepsany) ma vlastne polovicni uhlopricku oproti zakladnimu, ale to jsi nejspis nemyslel. To se da pouzit snad az u vypoctu obsahu. Nikoliv obvodu.

Cheop · 14. 12. 2010 08:58

↑ Edy:
Z obrázku už to dáš dohromady?

Základní délka strany čtverce $a=4$

Edy · 14. 12. 2010 16:23

Už jsem pochopil, že polovina úhlopříčky je rovna jedné straně vepsaného čtverce.
A teď jsem to už pochopil všechno. Mátlo mě, že když jsem počítal obvod těch čtverců tak mi z Pythágorovy věty vyšlo (dejme tomu že a=4) $4*a\sqrt{1/2}$
coz je $4*4\sqrt{1/2}=11,3$ . No a když to počítáte logicky přes tu úhlopříčku tak vám výjde $4*4\sqrt2/2$ , ale výsledek je stejný.
díky za pomoc

VYŘEŠENO

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2010 18:45

čtverec vepsaný ve čtverci - Nekonečná geometrická řada

#2 13. 12. 2010 19:01

Re: čtverec vepsaný ve čtverci - Nekonečná geometrická řada

#3 13. 12. 2010 19:21

Re: čtverec vepsaný ve čtverci - Nekonečná geometrická řada

#4 13. 12. 2010 19:28

Re: čtverec vepsaný ve čtverci - Nekonečná geometrická řada

#5 14. 12. 2010 08:58

Re: čtverec vepsaný ve čtverci - Nekonečná geometrická řada

#6 14. 12. 2010 16:23

Re: čtverec vepsaný ve čtverci - Nekonečná geometrická řada

Zápatí