Matematické Fórum

faktorial · 14. 12. 2010 12:56

Ahojte, mam tu jednu konstrukcnu ulohu s ktorou neviem ako zacat:

Zostrojte trojuholnik ABC ktory ma tieto vlastnosti : |BC| : |AC| = 2:3 ; vc=4cm ; uhol gama = 60 st.

zacal som tak ze som si oznacil strany BC=2x ; AC=3x. A dalej som sa nedostal, skusal som cez kosinusovu vetu riesit ale neviem ako dalej, poradte mi.

BakyX · 14. 12. 2010 13:32

Využiješ podobnosť trojuholníkov..Všetky trojuholníky, ktorých pomer strán |BC|:|AC| je 2:3 a uhol gamma je 60 stupňov, sú podobné. Narysuješ jeden takýto trojuholník a teraz predĺžíš jeho strany a výšku, aby mala 6 cm a narysuješ trojuholník ABC.

faktorial · 14. 12. 2010 15:23

a ja som myslel ze nieco treba vypocitat a pritom to je taketo jednoduche, dakujem uz to mam vyriesene.

BakyX · 14. 12. 2010 15:54 — Editoval BakyX (14. 12. 2010 16:34)

Ak by niekoho zaujímal výpočet.

Poznáme:

$a:b=x:y, \gamma, v_c$

Najprv použijeme vzorce pre výpočet obsahu trojuholníka:

$S=\frac{c v_c}{2}\nl S=\frac{1}{2}ab.sin(\gamma)$

Vytvoríme rovnosť z ktorej vyjadríme "c"

$\frac{c v_c}{2}=\frac{1}{2}ab.sin(\gamma)\nl c v_c=ab.sin(\gamma)\nl c=\frac{ab.sin(\gamma)}{v_c}$

Keďže $a:b=x:y$ môžme tvrdiť, že $a=xz$ a $b=yz$ . Dosadíme toto všetko do kosínovej vety. Snažíme sa vyjadriť "z".

$c^2=a^2+b^2-2ab.cos(\gamma)\nl \frac{x^2y^2z^4.sin^2(\gamma)}{v_c^2}=x^2 z^2 +y^2 z^2-2xyz^2.cos(\gamma)\nl \frac{x^2y^2z^2.sin^2(\gamma)}{v_c^2}=x^2+y^2-2xy.cos(\gamma)\nl z=\frac{v_c\sqrt{x^2+y^2-2xy.cos(\gamma)}}{xy.sin(\gamma)}$

Potom ale:

$a=\frac{v_c\sqrt{x^2+y^2-2xy.cos(\gamma)}}{y.sin(\gamma)}\nl b=\frac{v_c\sqrt{x^2+y^2-2xy.cos(\gamma)}}{x.sin(\gamma)}\nl c=\frac{v_c({x^2+y^2-2xy.cos(\gamma))}}{xy.sin(\gamma)}$

Na základe údajov z tvojho zadania:

$a=\frac 8 9 \sqrt{3}\nl b=\frac 4 3 \sqrt{21}\nl c=\frac{28}{9} \sqrt{3}$

Matematické Fórum

#1 14. 12. 2010 12:56

konstrukcia trojuholnika

#2 14. 12. 2010 13:32

Re: konstrukcia trojuholnika

#3 14. 12. 2010 15:23

Re: konstrukcia trojuholnika

#4 14. 12. 2010 15:54 — Editoval BakyX (14. 12. 2010 16:34)

Re: konstrukcia trojuholnika

Zápatí