Matematické Fórum

Lancer · 13. 12. 2010 19:52

Najdite vsetky riesenia rovnice $y^k=x^2+x$ v celych cislach, ked k je prirodzene cislo vacsie ako 1.
-
Ked si rovnicu upravim dostanem $y^k=x \cdot (x+1)$ .
To znamena, ze $y^k$ je sucin dvoch po sebe iducich cisel a naozaj sa mi nezda, ze by v takomto pripade existovali ine riesenia ako $x=-1;\ y=0$ a $x=0;\ y=0$ pricom $k$ moze byt cokolvek. Ako to vsak mam dokazat? Dakujem za pomoc. Slovencina dufam nevadi.

Pavel Brožek · 14. 12. 2010 18:22

↑ Lancer:

Případy s nulami neřešme, ty už jsi vyřešil.

Na pravé straně je zřejmě kladné číslo. Na levé straně tedy také musí být kladné číslo, což znamená, že k je sudé nebo y je kladné. Pokud je k sudé, pak pokud je nějaké záporné číslo řešením, musí být i číslo k němu opačné řešením. Stačí tedy rovnici řešit pouze pro kladná y a pak pouze v případě sudého k přidat k řešení i čísla opačná.

Podobně stačí najít kladná řešení x a pak k nim přidat hodnoty $-1-x$ , pro které nabývá $x^2+x$ stejné hodnoty.

Jestliže se nějaké prvočíslo $p$ vyskytuje v prvočíselném rozkladu $y$ , pak se $p$ může vyskytovat pouze v prvočíselném rozkladu jednoho z čísel $x$ a $x+1$ . Prvočíselný rozklad čísla y tak využijeme k zapsání čísla $y$ na součin dvou čísel $y=y_1\cdot y_2$ , kde $y_1$ je složeno pouze z prvočísel vyskytujících se v prvočíselném rozkladu $x$ a $y_2$ je složeno pouze z prvočísel vyskytujících se v prvočíselném rozkladu $x+1$ . Je pak jasné, že musí být $y_1^k=x$ a $y_2^k=x+1$ . Odečteme od sebe tyto dvě rovnosti a dostaneme

$1=y_2^k-y_1^k$

Rozepíšeme pravou stranu

$y_2^k-y_1^k=(y_2-y_1)(y_2^{k-1}+y_2^{k-2}y_1+\ldots+y_1^{k-1})$ .

Obě závorky musí být rovny jedné. Druhá závorka má však alespoň dva členy (k je alespoň dva), přitom oba jsou přirozenými čísly, nelze tedy rovnost splnit. V kladných y tedy rovnice nemá řešení. Nemá ho proto ani v záporných a zbývají tak jen ta nulová řešení.

Lancer · 14. 12. 2010 20:33

↑ BrozekP:
Vdaka, rozumiem vsetkemu.

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2010 19:52

Rovnica

#2 14. 12. 2010 18:22

Re: Rovnica

#3 14. 12. 2010 20:33

Re: Rovnica

Zápatí