Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 14. 12. 2010 20:50
Geometrická úloha
Ahoj, mohli by jste mi poradit jak na tuhle úlohu? Vůbec nevím co s tím. Jen trochu pomoct.
V čtverci se stranou 1 vedeme několik úseček, rovnoběžných s jeho stranami. Úsečky se mohou protínat. Součet délek úseček je 18. Dokažte, aby z částí, na které úsečky rozdělí čtverec, existuje taková, jejíž plocha je alespoň 0,01.
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) Jozy)
#2 15. 12. 2010 07:04
Re: Geometrická úloha
↑ Jozy:
Zkus vypočítat obsah jednoho čtverečku, když v každém směru rozdělíš stranu pravidelně na 10 dílků. (tedy v každém směru 9 úseček)
Pak se zamysli nad tím, jaké obsahy dostaneš, když to nebude rozděleno pravidelně.
(i tak, že např v jednom směru nebude žádná úsečka)
Zajímá tě největší obsah.
Offline
#3 15. 12. 2010 21:49
Re: Geometrická úloha
Když čtverec rozdělím pravidelně 9 úsečkami v každém směru na největší možný počet 100 dílků, bude mít každý z nich plochu právě 0,01.
Zmenšováním počtu dílků (měnením poměru úseček mezi jedním a druhým směrem) budu jen zvětšovat průmernou plochu jednoho dílku, tedy tudy cesta nevede.
Zachováním počtu dílků (poměru úseček mezi jedním a druhým směrem) a měnením vzdálenosti mezi úsečkami, zmenší svou plochu pod 0,01 pouze některé dílky, jiné naopak svou plochu zvětší, protože průmerná plocha jednoho dílku 0,01 musí být zachována.
Stačí to takhle?
Offline
#4 15. 12. 2010 22:02 — Editoval TomDlask (15. 12. 2010 22:37)
Re: Geometrická úloha
Průměrná plocha jednoho dílku závisí na tom, kolik je těch úseček rovnoběžných s jakou stranou, jestli jsem dobře pochopil zadání. Když bude všech 18 rovnoběžno vzájemně, tak bude 19 dílků => 1/19 != 0,01, ale stejně 1/19>=0,01. Tu úvahu by to chtělo ještě doladit podle mne, asi bych to dělal rozborem všech situací, kterých je zde dokonce konečně mnoho. Ale ta hlavní myšlenka je správná.
Jsem omylný, proto ne vše, co jsem napsal, je zaručeně správně.
468
Offline
#5 16. 12. 2010 06:45
Re: Geometrická úloha
↑ Jozy:
Já bych do toho nepletl žádné průměrné plochy dílků.
Nástin důkazu
1. Protože se jedná o čtverec o straně 1 a úsečky vedeme rovnoběžně s některou ze stran, je jasné, že délka každé úsečky je 1. Protože součet délek úseček má být 18, musí být úseček 18.
2. Plocha celého čtverce je 1x1=1.
3. Rozdělíme nejdříve čtverec 9-ti úsečkami v každém směru s pravidelnými odstupy.
Tímto jsme čtverec rozdělili na 100 stejných dílků (čtverečků) o ploše 1/100=0.01.
4. Při nepravidelném rozdělení čtverce 9-ti úsečkami v každém směru dostaneme opět 100 dílků. Je zřejmé, že pokud existují některé dílky s plochou menší než 0.01 musí existovat alespoň jeden s plochou větší než 0.01 (součet ploch všech 100 dílků je stále 1)
5. Při jakémkoliv jiném dělení než 9 a 9 úseček v jednom a druhém směru bude počet dílků menší než 100. (postupně může nabývat hodnot 19,36,51,64,75,84,91,96 99)
Pak tedy musí vždy (v souladu s bodem 4) existovat alespoň jeden dílek jehož plocha je větší než 0.01, neboť i při počtu dílků 99 a pravidelné rozdělení bude plocha každého dílku 1/99>0.01.
Offline