Matematické Fórum

PokecCZ · 18. 12. 2010 18:08

Ahoj,

opět prosím o radu jak spočíst lim -> pi/2 (sinx)^(tgx).

Postupoval jsem následně:

1. e^[tgx*ln(sinx)]
2. e^[ln(sinx)/(1/tgx)] ... abych mohl derivovat
3. limitu si přesunu do exponentu a pokusím se dopočíst

bohužel stále ne a ne se dopátrat správného výsledku - ten by měl být 1.

dík moc

Marian · 18. 12. 2010 18:30

↑ PokecCZ:

Postup je správně. Limita v exponentu se spočítá snadno pomocí l'Hospitalova pravidla:

$\lim_{x\to\pi /2}\quad\frac{\ln (\sin (x))}{\cot (x)}=\lim_{x\to\pi /2}\quad\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{-\frac{1}{\sin ^2(x)}}=-\lim_{x\to\pi /2}\quad\sin (x)\cdot\cos (x).$

Odtud snadno dosazením máme hodnotu limity, tj. 0. Tudíž hdonota původní limity (ze spojitosti funkce exp(x)) bude rovna exp(0)=1.

Lze ještě počítat ale i jinak. Pokud využiejeme faktu, že platí

$\lim_{t\to \infty}\left (1+\frac{1}{t}\right )^t=\mathrm{e},$

dává substituce $t:=\frac{1}{\sin (x)-1}$ pro $x\to \frac{\pi}{2}$ snadný výpočet; totiž

$\lim_{x\to\pi /2}\quad\left (\sin (x)\right )^{\tan (x)}=\lim_{x\to\pi /2}\quad\left (1+(\sin (x)-1)\right )^{\frac{1}{\sin (x)-1}\cdot\tan (x)\cdot (\sin (x)-1)}.$

Stačí už jen ukázat, že platí

$\lim_{x\to\pi /2}\quad \tan (x)\cdot (\sin (x)-1)=0,$

což je jistě pravda (jak se ukáže snadným výpočtem bez l'Hospitalova pravidla).

PokecCZ · 18. 12. 2010 18:33

↑ Marian:
dík moc za upřesnění výpočtu, jsem dlužníkem :)

Matematické Fórum

#1 18. 12. 2010 18:08

lim -> pi/2 (sinx)^(tgx)

#2 18. 12. 2010 18:30

Re: lim -> pi/2 (sinx)^(tgx)

#3 18. 12. 2010 18:33

Re: lim -> pi/2 (sinx)^(tgx)

Zápatí