Matematické Fórum

doomed · 18. 12. 2010 23:17

Zdravím, věděl by někdo, jak dokázat toto: Součin libovolných dvou za sebou jdoucích sudých čísel $x , y (x = 2 k , y = 2 k + 2 , k \in\mathbb{Z})$ je dělitelný osmi; symbolicky $(\forall k \in \mathbb{Z}) ( \exists m \in \mathbb{Z}): 2 k ( 2 k + 2) = 8 m$
Upravím-li rovnici, dostanu $k (k + 1) = 2 m$ , dál ale nevím, co s tím :-/ Uměl by někdo alespoň poradit, který z typů důkazu by byl nejvhodnější?

Spybot · 18. 12. 2010 23:22 — Editoval Spybot (18. 12. 2010 23:23)

Zdravim,

k comu si sa dopracoval, je ze sucin dvoch za sebou iducich cisel (jedno parne, druhe neparne) je parny. Je? :-)

teolog · 18. 12. 2010 23:24 — Editoval teolog (18. 12. 2010 23:24)

↑ doomed:
Po Vaší úpravě je součin dvou po sobě jdoucích čísel dělitelný dvojkou. Což jistě je, protože jedno ze dvou po sobě jdoucích čísel musí být rozhodně sudé.

doomed · 18. 12. 2010 23:29

Aha :-D Já jsem ale ... už to vidím. Díky. Celkově mi důkazy, byť jsou triviální, dělají problém, ale to zřejmě souvisí s tím, že nejsem obecně v matematice příliš kovaný a ne vždy si tudíž uvědomuju všechny nezbytné souvislosti :-/

petrkovar · 18. 12. 2010 23:29

↑ doomed:Použil bych přímý důkaz.
Co můžeme číci o dělitelnosti čísel $2k$ a $2k+2$ číslem 4?

doomed · 18. 12. 2010 23:35 — Editoval doomed (18. 12. 2010 23:54)

↑ petrkovar:
No pravděpodobně to, že je-li k liché a větší než jedna, jsou obě čísla dělitelná čtyřmi? Jen střílim. Asi bych měl dodat, že součin je vlastně dělitelný čtyřmi pro kterékoli celé číslo k.
Ne, blbost, to první beru zpět, fuj!
Pane Kováři, mohl byste napovědět, kam jste tím mířil? :-)

Arcasil

Osobně bych použil indukci :)
Edit:(Beru zpět, nevšiml jsem si, že v zadání jsou Z)

petrkovar · 19. 12. 2010 08:32

↑ doomed:Někomu pomůže vizuální představa. Podívejme se, jak jsou čísla $2k$ a $2k+2$ uspořádaná na číselné ose. Jedná se o dvě po sobě jdoucí sudá čísla. Právě jedno z nich je dělitelné 4, protože jestliže číslo $2k$ není dělitelné 4, tak dává zbytek 2 po dělení čtyřmi (vždyť $2k$ je sudé). Jak to v takovém případě bude s $2k+2$ ?

Ale zdaleka nejjednodušší je upravit součin $2k(2k+2)$ . Nebudu jej porovnávat s $8m$ , ale roznásobím. Co potom můžeme říci o součinu $k(k+1)$ ?

Matematické Fórum

#1 18. 12. 2010 23:17

Důkaz

#2 18. 12. 2010 23:22 — Editoval Spybot (18. 12. 2010 23:23)

Re: Důkaz

#3 18. 12. 2010 23:24 — Editoval teolog (18. 12. 2010 23:24)

Re: Důkaz

#4 18. 12. 2010 23:29

Re: Důkaz

#5 18. 12. 2010 23:29

Re: Důkaz

#6 18. 12. 2010 23:35 — Editoval doomed (18. 12. 2010 23:54)

Re: Důkaz

#7 19. 12. 2010 00:21 — Editoval Arcasil (19. 12. 2010 00:31)

Re: Důkaz

#8 19. 12. 2010 08:32

Re: Důkaz

Zápatí