Matematické Fórum

AleX.3.14159265 · 18. 12. 2010 22:57

Ahoj, lámu si hlavu s tímhle příkladem už pár dní a stále nemůžu přijít na to, jak ho vyřešit, a protože jsem na těchto stránkách našla pár dobrých rad, tak doufám, že mi někdo dokáže poradit s touhle zapeklitou rovnicí... (E=I=jednotková matice)

Je dána rovnice A + AX + 3E = B , určete matici X.
A = 1 2 B = 4 -2
-3 1 11 -5
Jestli mi někdo zvládnete poradit, budu vážně vděčná!

Pavel Brožek

↑ AleX.3.14159265:

Určitě bys uměla rovnici A + AX + 3E = B vyřešit, kdyby A, B, E a X nebyly matice, ale čísla. Zkus se zamyslet, jestli podobné úpravy můžeme dělat i v případě matic. Rozdíl je hlavně v tom, že maticové násobení není komutativní.

Edit: Zatím za A a B nedosazuj ty konkrétní matice. Zatím se jenom pokusíme X vyjádřit pomocí ostatních matic.

teolog · 18. 12. 2010 23:04 — Editoval teolog (18. 12. 2010 23:06)

↑ AleX.3.14159265:
Pomocí běžných úprac si rovnici upravte na tvar
AX=B-3E-A

A pak najdět matici unverzní k A a tou vynásobte zleva obě strany rovnice.

EDIT: ↑ BrozekP:
Omlouvám se za vpád do Vaší snahy, psali jsem to zároveň.

gladiator01

$A + AX + 3E = B$

Nejprve vytkni A
$A(E + X) + 3E = B$

Pak vynásobíš A^(-1) zleva, platí A^(-1) A = E:
$A^{-1}A (E + X) +A^{-1} 3E =A^{-1} B$

Potom:
$E + X + A^{-1} 3E= A^{-1} B$

Zbytek snad už zvládneš, stačí jen osamostnanit X na levé straně.

EDIT

Pavel Brožek · 18. 12. 2010 23:09

↑ teolog:

Samozřejmě v pořádku :-)

↑ gladiator01:

Píšeš, že násobíš zprava, ale první člen na levé straně násobíš uprostřed :-).

Pavel Brožek · 18. 12. 2010 23:35

↑ gladiator01:

Ale $A^{-1}B\neq BA^{-1}$ (tedy obecně, neověřoval jsem, jestli zde ty matice náhodou nekomutují).

gladiator01

↑ BrozekP:
Promin, já přepsala jeden řádek a druhý už ne.

↑ AleX.3.14159265:
Vyjde to $\begin{pmatrix} -4 & 2 \nl 2 & -3 \end{pmatrix}$ (jestli jsem se zase někde nesekla :))

Olin · 19. 12. 2010 00:07 — Editoval Olin (19. 12. 2010 00:09)

Já bych jen dodal, že hledat inverzní matici je u takovýchto rovnic zpravidla zbytečné (v případě matic 2x2 by se o tom asi ještě dalo diskutovat, pokud u nich někdo umí inverzy hledat rychle). Jakmile rovnici převedeme do tvaru

,

můžeme ji řešit jako soustavu lineárních rovnic s maticí A, ovšem s více pravými stranami najednou (v tomto případě konkrétně se dvěma). Tento případ se tedy upraví na soustavu rovnic

.

Uvedený postup navíc funguje i v případě, když je matice A singulární.

AleX.3.14159265 · 19. 12. 2010 00:26

Páni, nečekala jsem tak rychlou odezvu, tak jsem zatím hupla do vany prokrvit mozkové buňky.. Všem vám moc děkuji, konečně to snad dám do kupy, dám vědět jak mi to vyšlo... Vám to fakt pálí, můžu se zeptat ještě na jeden příklad, který mi taky dělá vrásky..?

teolog · 19. 12. 2010 00:30

↑ AleX.3.14159265:
Ptejte se, ale pro další příklad založte nové téma (určitě nechcete vytvářet chaos a porušovat místní pravidla :).

AleX.3.14159265 · 19. 12. 2010 00:33

jóóó, vyšlo mi to parádně, bože to bylo ale snadné... Já jsem fakt hloupá!!! ;-)

AleX.3.14159265 · 19. 12. 2010 00:35

↑ Olin:
díky díky...

AleX.3.14159265

Promiňte, beru zpět, ještě jsem si to překontrolovala a vycházejí mi úplné blbosti (-32/7 atd.). Můžete mi pomoci ještě s postupem výpočtu té matice?

AleX.3.14159265 · 19. 12. 2010 01:13

↑ teolog:To určitě nechci.. :-) Děkuji

gladiator01 · 19. 12. 2010 11:12

↑ AleX.3.14159265:
Té co píše Olin?

,

k druhému řádku přičteme tronásobek prvního

druhý řádek vynásobíme 1/7

a k prvnímu přičteme -2násobek druhého

AleX.3.14159265 · 19. 12. 2010 13:53

↑ gladiator01:Děkuji moc, takže když vytknu X na jednu stranu rovnice a udělám z toho tu soustavu lin. rovnic, tak pak už postupuji jako při výpočtu inverzní matice a to co mi vyjde na pravé straně soustavy, tak to je matice X...Trošku jsem se zamotala, tak mi to na poprvé nevyšlo...Teď už je vše v pořádku. Ještě jednou Vám všem děkuji za pomoc, bez tohohle fóra bych byla ztracená!!!

gladiator01

↑ AleX.3.14159265:
Ano a asi to bude i nejjednoduší s těch možností co tu byly napsány.

Matematické Fórum

#1 18. 12. 2010 22:57

určete matici X. Je dána rovnice...???

#2 18. 12. 2010 23:04 — Editoval BrozekP (18. 12. 2010 23:06)

Re: určete matici X. Je dána rovnice...???

#3 18. 12. 2010 23:04 — Editoval teolog (18. 12. 2010 23:06)

Re: určete matici X. Je dána rovnice...???

#4 18. 12. 2010 23:06 — Editoval gladiator01 (18. 12. 2010 23:42)

Re: určete matici X. Je dána rovnice...???

#5 18. 12. 2010 23:09

Re: určete matici X. Je dána rovnice...???

#6 18. 12. 2010 23:35

Re: určete matici X. Je dána rovnice...???

#7 18. 12. 2010 23:37 — Editoval gladiator01 (18. 12. 2010 23:54)

Re: určete matici X. Je dána rovnice...???

#8 19. 12. 2010 00:07 — Editoval Olin (19. 12. 2010 00:09)

Re: určete matici X. Je dána rovnice...???

#9 19. 12. 2010 00:26

Re: určete matici X. Je dána rovnice...???

#10 19. 12. 2010 00:30

Re: určete matici X. Je dána rovnice...???

#11 19. 12. 2010 00:33

Re: určete matici X. Je dána rovnice...???

#12 19. 12. 2010 00:35

Re: určete matici X. Je dána rovnice...???

#13 19. 12. 2010 01:12 — Editoval AleX.3.14159265 (19. 12. 2010 01:26)

Re: určete matici X. Je dána rovnice...???

#14 19. 12. 2010 01:13

Re: určete matici X. Je dána rovnice...???

#15 19. 12. 2010 11:12

Re: určete matici X. Je dána rovnice...???

#16 19. 12. 2010 13:53

Re: určete matici X. Je dána rovnice...???

#17 19. 12. 2010 13:59 — Editoval gladiator01 (19. 12. 2010 14:01)

Re: určete matici X. Je dána rovnice...???

Zápatí