Matematické Fórum

Esperance · 19. 12. 2010 10:22

Dokažte následující nerovnost..

$\frac12 (a^n + b^n) > (\frac{a+b}{2})^n$
$a>0, b>0, a\neq b, n>1$

děkuju za pomoc

Olin · 19. 12. 2010 11:17

Využij toho, že funkce $x^n$ je pro $x>0,\, n > 1$ ryze konvexní.

Esperance · 19. 12. 2010 11:34

↑ Olin:

odůvodním tedy, že fkce x^n má druhou derivaci pro x>0, n>1 vždy kladnou a proto je na celém svém Df ryze konvexní,
pak si zasubstituuji za (a+b)/2 =x1, x1^n je tedy ryze konvexní
na levé straně mám také součet dvou ryze konvexních...

a teď?

Olin · 19. 12. 2010 12:06

Jak je definována konvexní funkce? Když nakreslím graf funkce $x^n$ , vyberu dvě různá kladná čísla a, b, kde pak v grafu najdu hodnoty $$ \frac{a+b}{2}$^n$ a $\frac{a^n+b^n}{2}$ ?

Matematické Fórum

#1 19. 12. 2010 10:22

Diferenciální počet, dokázání nerovnosti

#2 19. 12. 2010 11:17

Re: Diferenciální počet, dokázání nerovnosti

#3 19. 12. 2010 11:34

Re: Diferenciální počet, dokázání nerovnosti

#4 19. 12. 2010 12:06

Re: Diferenciální počet, dokázání nerovnosti

Zápatí