Matematické Fórum

Mautinek · 11. 12. 2008 17:59

Ahoj, potřeboval bych pomoci s následujícími příklady, tak abys je pochopil. Díky moc

1) Jsou dány podprostory W1,W2 $\subset$ R4. Určete dimenzi a bázi součtu W1 + W2 a průniku W1 \ W2 podprostorů W1 =< u1, u2, u3, u4 > ,W2 =< v1, v2, v3 >, kde u1 = (1; 2; 2;−3), u2 = (2; 3; 1; 0), u3 =(1; 2; 2;−3), u4 = (2; 3; 1; 0), v1 = (1; 3; 0;−4), v2 = (1; 1; 1; 1), v3 = (1; 0; 1;−1).

2) Nalezněte ortogonální bázi podprostoru W $\subset$ R5, kde W =< u1, u2, u3 >: u1 = (1;−2;−1; 0;−1), u2 = (2; 3; 0;−2; 3), u3 = (1; 1;−2;−1; 1).

3) Určete ortogonální průmět vektoru v = (4; 2;−5; 3) do podprostoru P =< (5; 1; 3; 3), (3;−1;−3; 5), (3;−1; 5;−3) > .

lukaszh · 11. 12. 2008 21:22

↑ Mautinek:
1) Použi vlastnosť:
$\dim(\text{V}\cap\text{W})+\dim(\text{V}+\text{W})=\dim(\text{V})+\dim(\text{W})$
2) Ak hľadáš ortonormálnu bázu, použi Gramm-Schmidtov proces. Ak hľadáš len ortogonálnu bázu, tak treba len projektovať. Prvý vektor necháš taký aký je $\mathbf{u}_1=\mathbf{b}_1$ , ďalší sprojektuješ na smer daný vektorom u_2, teda:
$\text{proj}_{\,1}({\mathbf{u}}_2)=\frac{\mathbf{u_1}^T\mathbf{u}_2}{\mathbf{u_1}^T\mathbf{u_1}}\mathbf{u}_1$
Ortogonálny vektor k u_1 je teda:
$\mathbf{b}_2=\mathbf{u}_2-\frac{\mathbf{u_1}^T\mathbf{u}_2}{\mathbf{u_1}^T\mathbf{u_1}}\mathbf{u}_1$
Tretí vektor má byť ortogonálny k obom predchádzajúcim, teda sprojektuješ na oba smery u_1 aj u_2 a sčítaš:
$\text{proj}_{\,2}({\mathbf{u}}_3)+\text{proj}_{\,3}({\mathbf{u}}_3)=\frac{\mathbf{u_1}^T\mathbf{u}_3}{\mathbf{u_1}^T\mathbf{u_1}}\mathbf{u}_1+\frac{\mathbf{u_2}^T\mathbf{u}_3}{\mathbf{u_2}^T\mathbf{u_2}}\mathbf{u}_2$
... posledný vektor bude:
$\mathbf{b}_3=\mathbf{u}_3-$\frac{\mathbf{u_1}^T\mathbf{u}_3}{\mathbf{u_1}^T\mathbf{u_1}}\mathbf{u}_1+\frac{\mathbf{u_2}^T\mathbf{u}_3}{\mathbf{u_2}^T\mathbf{u_2}}\mathbf{u}_2$$

Mautinek

↑ lukaszh:
Díky za "nakopnutí", zkusil jsem spočítat ten druhý příklad báze mi vychází: f1 = u1 = (1; -2; -1; 0; -1), f2 = (3; 1; -1; -2; 2), f3 = (-11/19; 9/19; -28/19; 1/19; -1/19)

Postup mám zde: http://img3.imgup.eu/DSC00690.JPG
Kdyby se někdo, prosím, mrkl, jestli mám dobrý postup nebo ne. Díky moc ;-)

Mautinek · 14. 12. 2008 22:52

Mohl by pls někdo ještě rozepsat tu 1), nějak tomu nerozumím, dík

lukaszh · 15. 12. 2008 00:34

↑ Mautinek:
Najprv treba zistiť akú dimenziu má priestor V a potom priestor W. To zistíš tak, že vektory generujúce dané priestory naskladáš do matice ako stĺpce. Upravíš na horný trojuholníkový tvar a zistíš dimenziu (hodnosť matice). Potom zistíš dimenziu priestoru $\text{V}\oplus\text{W}$ tak, že generátory naskladáš do jednej matice, čiže vznikne sedem stĺpcov a 4 riadky. Upravíš a vypočítaš hodnosť. Potom už len dosadíš do horeuvedeného vzťahu.

lose · 19. 12. 2010 16:00

↑ lukaszh:

prosím chtěl bych se zeptat když znám tedy dimenzi průniků V a W jak zjistím její bázi?Podle mého selského rozumu by to meli být ty polynomy ktere obsahují jak prostor V tak prostor W ale v mém zadání žádný takový společný polynom neni.
Předem děkuji

Matematické Fórum

#1 11. 12. 2008 17:59

Báze a podprostory

#2 11. 12. 2008 21:22

Re: Báze a podprostory

#3 13. 12. 2008 13:14 — Editoval Mautinek (13. 12. 2008 17:30)

Re: Báze a podprostory

#4 14. 12. 2008 22:52

Re: Báze a podprostory

#5 15. 12. 2008 00:34

Re: Báze a podprostory

#6 19. 12. 2010 16:00

Re: Báze a podprostory

Zápatí