Matematické Fórum

Lobacho · 19. 12. 2010 14:58

Př.: Určete rovnici tečny ke grafu funkce $f(x)=sinx$ v bodě $x_0=\pi/4$
Z toho plyne, že $y_0=\sqrt{2}/2$
a já jsem došel k tomuhle: Když pro směrnici k platí $k=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{y-y_0}{x-x_0}$
pak : $k=\lim_{x\rightarrow \pi/4 }\frac{sinx-sin\pi/4}{x-\pi/4}$
a já nevím jak řešit tuto limitu, asi nějak rozšířit, ale zatím jsem jen plýtval papíry a lesy ČR. Pomůžete mi prosím ? Děkuji předem

BakyX · 19. 12. 2010 15:09

Použi vetu o tom, že limita zlomku je rovná limita čitateľa / limita menovateľa.

zdenek1 · 19. 12. 2010 15:17

↑ Lobacho:
Pomůžeme. Vůbec tu limitu nepočítej a vypočítej si derivaci.

Lobacho · 19. 12. 2010 15:29

↑ BakyX:

Dobře možná potřebuji trochu větší kopanec, ale pak mám pokračovat jak? Jediný co vím, tak že to musím upravit, tak aby mi ve jmenovateli nevycházela nula.

↑ zdenek1:
Učitelka to chce ať to vypočítám přes limitu a derivace mi taky moc nejdou asi se dnes ohledně nich budu ještě ptát. :-( Ale díky. :-)

jarrro · 19. 12. 2010 15:42

↑ BakyX:výraz čo dostaneme je nedefinovaný
$\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}{\frac{\sin{\left(x\right)}-\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}}{x-\frac{\pi}{4}}}=\lim_{t\to 0}{\frac{\sin{\left(t+\frac{\pi}{4}\right)}-\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}}{t}}=\nl=\lim_{t\to 0}{\frac{\sin{\left(t\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}+\cos{\left(t\right)}\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}-\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}}{t}}=\lim_{t\to 0}{\frac{\sin{\left(t\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}+\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\left(\cos{\left(t\right)}-1\right)}{t}}=\nl=\lim_{t\to 0}{\frac{\sin{\left(t\right)}\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}}{t}}+\lim_{t\to 0}{\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\left(\cos{\left(t\right)}-1\right)}{t}}=\nl=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \lim_{t\to 0}{\frac{\cos^2{\left(t\right)}-1}{\left(\cos{\left(t\right)}+1\right)t}}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot\lim_{t\to 0}{\frac{-\sin^2{\left(t\right)}}{t}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Lobacho · 19. 12. 2010 16:02

↑ jarrro:
Zajímavá substituce, hned to vypadá lehčí. Ten výsledek má skutečně vyjít $\sqrt{2}/2$ . DÍKY MOC jarrro. I všem ostatním.

Matematické Fórum

#1 19. 12. 2010 14:58

TEČNA KE GRAFU FUNKCE (s využitím limity)

#2 19. 12. 2010 15:09

Re: TEČNA KE GRAFU FUNKCE (s využitím limity)

#3 19. 12. 2010 15:17

Re: TEČNA KE GRAFU FUNKCE (s využitím limity)

#4 19. 12. 2010 15:29

Re: TEČNA KE GRAFU FUNKCE (s využitím limity)

#5 19. 12. 2010 15:42

Re: TEČNA KE GRAFU FUNKCE (s využitím limity)

#6 19. 12. 2010 16:02

Re: TEČNA KE GRAFU FUNKCE (s využitím limity)

Zápatí