Matematické Fórum

7867088 · 18. 12. 2010 15:44

Dobrý den,
jsem neschopný pochopit počtání indexu podgrupy. Uvažuji například grupu G (Z) mod 8. Dejme tomu, že budu chít počítat index cyklické podgrupy H, generovanou prvkem 2. Jak na to mám jít? Dokonce jsem se zamotal i jejím řádu. Měla by mít řád tři, ale musí tam přeci být 0, 1, 2, 4. To je první věc. Index této podgrupy vůči původní grupě G (Z) mod 8 bych pak počtal tak, že vezmu všechny prvky podgrupy H a jimi budu násobit veškeré prvky grupy G (Z) mod 8? Nejsem si jist co tím získám, to je ta rozkladová třída? Takže tam budu mít nějaké součiny. Index je ale definován jako počet vzájemně disjunktních tříd, jak dostanu další?

Nejlépe by bylo, kdyby mi někdo ukázal konkrétní postup, třeba na tom mém s nějakým popiskem. Moc, moc by mi to pomohlo. Děkuji
Honza

Olin · 18. 12. 2010 17:34 — Editoval Olin (18. 12. 2010 17:35)

Je-li $G = \mathbb{Z}_8$ a $H = \langle 2 \rangle = \{0,\, 2,\, 4,\, 6\}$ , pak H má zřejmě řád 4 (odkud tam bereš tu jedničku? proč by měla mát řád zrovna 3?). Podle Lagrangeovy věty je $|G| = |H| \cdot [G:H]$ , kde $[G:H]$ je index H v G, je tedy roven 2.

Nebo lze přistupovat podle definice, kterou znám já. Rozkladové třídy podle H jsou $\{0,\, 2,\, 4,\, 6\}$ a $\{1,\, 3,\, 5,\, 7\}$ a jejich počet je právě ten index, tedy 2.

7867088 · 20. 12. 2010 18:39

↑ Olin:nerozumím tomu, kde jsi vzal ty prvky cyklické grupy?

Olin · 20. 12. 2010 18:44 — Editoval Olin (20. 12. 2010 18:44)

No tak je snad $\langle 2 \rangle = \{2,\, 2+2,\, 2+2+2,\, 2+2+2+2,\, \ldots\} = \{0,\, 2,\, 4,\, 6}$ , ne?

7867088 · 20. 12. 2010 19:01

↑ Olin:jo, já pořád hledal ty mocniny což je potom skutečně řád 3

7867088 · 20. 12. 2010 19:14

↑ 7867088:raději se ještě zeptám.¨multiplikativní cyklická grupa generovaná prvkem 2 má tedy prvky (0, 1, 2, 4)?
takže pak dostanu při modulu 8 takovouto tabulku?
1 2 4
1 1 2 4
2 2 4 0
4 4 0 0

řád je tedy čtyři

jenže to mi potom vysvětlete:
podle věty o primárním rozkladu každou grupu lze rozložit na bisoučin cyklických grup. tyto součinitelé jsou Sylowovy grupy. ale grupa řádu p^n je Sylowova právě tehdy když index grupy je nesoudělný s prvočíslem p.
není mi tedy jasné, že tato grupa je řádu 2^2. index je 2. to je ale soudělné, jenže tato grupa by měla být Sylowova ?!

Olin · 20. 12. 2010 23:43

No pozor, $\mathbb{Z}_8$ s násobením netvoří grupu. Za prvé bychom museli vyhodit nulu, za druhé i potom bychom měli problém, protože např. dvojka nemá invers.

Matematické Fórum

#1 18. 12. 2010 15:44

index podgrupy

#2 18. 12. 2010 17:34 — Editoval Olin (18. 12. 2010 17:35)

Re: index podgrupy

#3 20. 12. 2010 18:39

Re: index podgrupy

#4 20. 12. 2010 18:44 — Editoval Olin (20. 12. 2010 18:44)

Re: index podgrupy

#5 20. 12. 2010 19:01

Re: index podgrupy

#6 20. 12. 2010 19:14

Re: index podgrupy

#7 20. 12. 2010 23:43

Re: index podgrupy

Zápatí