Matematické Fórum

alf18 · 27. 04. 2008 16:22 — Editoval alf18 (27. 04. 2008 17:02)

ahoj,
u jednoho z prikladu bojuji s touto limitou

${\lim}\limits_{n \to \infty}( \frac{k*n^{k-1}}{c^n*ln(c)})$
k >1, c >1...

vim, ze vysledek je 0. Moje logicke zduvodneni, proc tomu tak je, je, ze s rostoucim "n" bude jmenovatel vetsi nez citatel a hodnota zlomku se bude blizit k nule. Nicmene, neumim to spocitat matematicky...

umi nekdo poradit, pls?

robert.marik · 27. 04. 2008 17:00

používejte l'Hospitalovo pravidlo tolikrát, dokud v čitateli nevyjde v exponentu nula (pro k celé) nebo něco záporného (je k "necelé")

xificurC · 27. 04. 2008 19:06

V citateli mas n^k-1 , co po k-1 derivacii odpadne, pricom v menovateli c^n sa zderivuje vzdy na c^n * ln c (ci deleno?) . Ale to je jedno, na cislach nezalezi tentoraz, c^n prezije vsetky derivacie a vysledok bude 0.

tymes.jan · 28. 04. 2008 17:54

AHoj vsici mam takovy priklad a nevim jak na nej muzete poradit?

\mathop{\lim}\limits_{a \to \infty}\frac{\sqrt{6+x}-\sqrt{2-x}}{x+2}
diky moc

Jorica · 28. 04. 2008 17:56

myslis tohle?

${\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{\sqrt{6+x}-\sqrt{2-x}}{x+2}$

Zmenila jsem ti tam mez, mel jsi tam pro a jdouci k nekonecnu...a to byl asi preklep, ne?

tymes.jan · 28. 04. 2008 17:58

nevim proc se mi to nezobrazuje!!:((

\mathop{\lim}\limits_{x \to \ -2}\frac{\sqrt{6+x}-\sqrt{2-x}}{x+2}

tymes.jan · 28. 04. 2008 18:00

mez je x-> -2

Jorica · 28. 04. 2008 18:23

↑ tymes.jan:
musis to vlozit do "znacek" vymezujici sazbu v TEXu. Pri psani prispevku klikni dole na tlacitko TeX, do prispevku se ti vlozi odpovidajici znacky a ten svuj zapis vkladej mezi tyto znacky. Pro jistotu pred odeslanim klikni na nahled (taky tlacitko pod prispevkem) a uvidis, zda jsi ci nejsi uspesny ;-)

Jorica · 28. 04. 2008 18:24 — Editoval Jorica (28. 04. 2008 18:26)

${\lim}\limits_{x \to -2}\frac{\sqrt{6+x}-\sqrt{2-x}}{x+2}$

Po dosazeni dostavas vyraz nula lomeno nulou, coz umoznuje pouzit l'Hospitalovo pravidlo, nebo muzes vyraz rozsirit zlomkem
$\frac{\sqrt{6+x}+\sqrt{2-x}}{\sqrt{6+x}+\sqrt{2-x}$ a upravit a kratit. pote znova dosadit mez. Zkus to a kdyztak se ozvi, zda jsi vyhral ty nebo limita.

tymes.jan · 28. 04. 2008 19:51

↑ Jorica: ahoj nejak mi to porad nevychazi muues mi napsat postup.

robert.marik · 28. 04. 2008 20:40

zkuste napsat jak Vam to vychazi. dockate se urcite driv odpovedi.

Jorica · 28. 04. 2008 22:19 — Editoval Jorica (28. 04. 2008 22:21)

Skoda, ze ses nepochlubil, jak to pocitas, treba bychom nasli drobnou chybu ;-)
Vypocet rozsirenim:

${\lim}\limits_{x \to -2}\frac{\sqrt{6+x}-\sqrt{2-x}}{x+2}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{\sqrt{6+x}-\sqrt{2-x}}{x+2}\cdot\frac{\sqrt{6+x}+\sqrt{2-x}}{\sqrt{6+x}+\sqrt{2-x}$

V citateli pouziji vzorec $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ a tim se zbavim odmocnin. Protoze se budu snazit o kraceni, abych se zbavila nuly ve jmenovateli, jmenovatele neroznasobuji, ale cekam, co se vyvrbi v citateli :-)

${\lim}\limits_{x \to -2}\frac{\sqrt{6+x}-\sqrt{2-x}}{x+2}\cdot\frac{\sqrt{6+x}+\sqrt{2-x}}{\sqrt{6+x}+\sqrt{2-x}}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{6+x-(2-x)}{(x+2)(\sqrt{6+x}+\sqrt{2-x})}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{4+2x}{(x+2)(\sqrt{6+x}+\sqrt{2-x})}=$
${\lim}\limits_{x \to -2}\frac{2}{\sqrt{6+x}+\sqrt{2-x}}$

Kratili jsme vyraz, ktery zpusoboval nulu ve jmenovateli, znovu dosad za x hodnotu -2 a vyjde ti hodnota limity, a to 1/2.

Vypocet pomoci l'Hospitalova pravidla:
Overis dosazenim, ze vychazi vyraz, ktery umoznuje pouzit toto pravidlo...ano, vychazi nula lomeno nulou. Derivejeme citatele i jmenovatele zvlast. Odmocniny si prevedes jako $(vyraz)^{\frac 12}$ a derivujes jako slozenou fci.

${\lim}\limits_{x \to -2}\frac{\sqrt{6+x}-\sqrt{2-x}}{x+2}={\lim}\limits_{x \to -2}\frac{\frac{1}{2\sqrt{6+x}}+\frac{1}{2\sqrt{2-x}}}{1}={\lim}\limits_{x \to -2}$\frac{1}{2\sqrt{6+x}}+\frac{1}{2\sqrt{2-x}}$$

Po pouziti l'Hospitalova pravidla dosad za x hodnotu -2 a mas opet vysledek...prekvapive vyjde...1/2 ;-)