Matematické Fórum

sincere · 24. 04. 2008 10:02

ahojte muze mi nekdo pomoci s timhle? Nevim jak postupovat pri reseni:/ Tětiva AB a střed S kružnice k určují rovnoramenný trojúhelník.
Na polopřímce opačné k polopřímce BA je sestrojen bod C tak,
aby platilo |BS| = |BC|. Polopřímka opačná k polopřímce SC
protne kružnici k v bodě C. Určete poměr velikostí úhlů ACS,
ASC'.

Ivana · 24. 04. 2008 20:42

↑ sincere:

sincere · 28. 04. 2008 17:44

↑ Ivana:ahoj děkuji ti za příspěvek,ale nějak to pořád nechápu, třeba jak si poznala těch dvacet...diky myslel jsem ze pro to musi byt nejaky pocetni dukaz:)

Ivana · 28. 04. 2008 18:42

↑ sincere:Zdravím , taky si myslím , že to má být početně , opět jsem zkusila jiné rozměry a vyšel mi poměr úhlů 1:3 . Podle mně jde o vztahy mezi rovnostranným a rovnoramenným trojúhelníkem . Tady je ještě jednou konstrukce , spíš pro inspiraci .

Paulus · 28. 04. 2008 19:25

Protože je trojúhelník trojúhelník ASB rovnoramenný, platí pro $|\angle SAB|=90^\circ-\gamma$ .
Trojúhelník AC'S je tak rovnoramenný a pro jeho úhly platí: $|\angle SC'\!A|=|\angle C'\!AS|=\frac{180^\circ-\beta}2$ . Protože je trojúhelník SBC rovnoramenný platí, že $|\angle BSC|=\alpha$ .

a) pro rovinný úhel C'SC platí, že: $\alpha+\beta+2\gamma=180^\circ$ .

b) Pro součet úhlů v trojúhelníku ACC' platí:
$|\angle SC'A|+|\angle C'AS|+|\angle SAB|+\alpha=180^\circ\quad\Rightarrow\quad \frac{180^\circ-\beta}2+\frac{180^\circ-\beta}2+(90^\circ-\gamma)+\alpha=180^\circ$
$-\beta-\gamma+\alpha=-90^\circ\quad\Rightarrow\quad \gamma=90^\circ+\alpha-\beta$

Takto vyjádřenou gamu dosadím do vzahu a)
$\alpha+\beta+2\cdot(90^\circ+\alpha-\beta)=180^\circ$
$3\alpha-\beta=0 \quad\Rightarrow\quad\beta=3\alpha$
Což znamená, že $\alpha : \beta=1:3$ .

OK?