Matematické Fórum

Sklepkan · 29. 04. 2008 09:45

Zdravím, prosím vás, mohli by jste mi vysvětlit, jak se řeší tenhle typ příkladů? Předem děkuju za odpovědi :)

plisna · 29. 04. 2008 09:58

ad 1) staci si uvedomit, ze v citateli je temer (az na konstantu) derivace jmenovatele, tedy muzeme pouzit vztah $\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,\mathrm{d}x = \ln |g(x)| + C$

ad 2) pomoci substituce $x^2 + 4 = t$

ad 3) opet pomoci substituce $7x = t$

plisna · 29. 04. 2008 10:16

ted se divam, ze jsi zadal o vysvetleni, takze to jeste trosku rozpocitam.

ad 1) ctyrku v integralu vytkneme a dostaneme $4 \int \frac{\mathrm{d}x}{5+2x}$ . jak uz jsem rekl - v citateli je temer az na konstantu derivace jmenovatele. derivace jmenovatele je $(5+2x)' = 2$ , tak si tu dvojku tam napiseme, ale zaroven ji jeste vynasobime jednou polovinou - to abychom nezmenili hodnotu citatele, ktery musi zustat roven jedne. tedy dostaneme $4 \int \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{5+2x}\,\mathrm{d}x = 4 \cdot \frac{1}{2} \int \frac{2}{5+2x}\,\mathrm{d}x$ , cimz jsme uz dostali presne to, co potrebujeme - v citateli mame derivaci jmenovatele, tedy muzeme psat $4 \cdot \frac{1}{2} \int \frac{2}{5+2x}\,\mathrm{d}x = 4 \cdot \frac{1}{2} \ln |5+2x| + C = 2 \ln |5+2x| + C$

ad 2) zavedeme substituci $x^2+4=t$ , zdiferencujeme $2x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ a muzeme psat s vyuzitim podobnych "kouzel" jako v predchozim prikladu: $\int \frac{3x}{(x^2+4)^3} \mathrm{d}x = 3 \int \frac{x}{(x^2+4)^3} \mathrm{d}x = 3 \int \frac{\frac{1}{2} \cdot 2x}{(x^2+4)^3} \mathrm{d}x = 3 \cdot \frac{1}{2} \int \frac{2x}{(x^2+4)^3} \mathrm{d}x = \frac{3}{2} \int \frac{\mathrm{d}t}{t^3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{t^{-2}}{(-2)} + C = -\frac{3}{4(x^2+4)^2} + C$

ad 3) zavedeme substituci $7x = t$ , zdiferencujeme $7\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}t$ a mame podobne jako v predchozich pripadech $\int \sin 7x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{7} \int 7 \cdot \sin 7x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{7} \int \sin t\,\mathrm{d}t = -\frac{1}{7} \cos t + C = -\frac{1}{7} \cos 7x + C$

Matematické Fórum

#1 29. 04. 2008 09:45

Integrály substituční metodou

#2 29. 04. 2008 09:58

Re: Integrály substituční metodou

#3 29. 04. 2008 10:16

Re: Integrály substituční metodou

Zápatí