Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 29. 04. 2008 13:09 — Editoval Lůca (30. 04. 2008 17:36)
LDR n-tého řádu
Ahojky:) už sem opravdu zoufalá, dokonce jsem tento příklad dala i své paní na doučování z matematiky a taky nám to nevyšlo... už opravdu nevím...
moje úkoly jsou:
1) vypočtěte obecné řešení zadáné DR y´´+6y´+ 9y= 4e^2x
2) vypočtěte 2 partikulární řešen této rovnice
při počátečných podmínkách a) y(0)= 1; y´(0)= -1
b) y(0)= 0; y´(0)= 1
potom ještě partikulární řešení zakreslit do grafu v uzavřeném intervalu pro všechna x (-1;3)
moc a moc děkuji
tak ju y´´+6y´+9y=4e^2x
yh: λ^2+6λ+9=0
D: 0 λ1,2= -3
y= e^-3x + x*e^-3x - bazické řešení
yh: y= c1*e^-3x + c2*x*e^-3x
y= a*e^2x * x^2
yp: y´= a*e^2x * 2 * x^2 + a*e^2x * 2x
y´= 2ae^2x + 2ae^2x*x
y´´= 2ae^2x*2*x^2 + ae^2x*2x + 2ae^2x*2*x + 2ae^2x + 4ae^2x*x^2 + 8ae^2x*x + 2ae^2x
4ae^2x*x^2 + 8ae^2x *x + 2ae^2x + 12ae^2x*x^2 + 12ae^2x*x + 9ae^2x*x^2= 4e^2x
25ae^2x*x^2 + 20ae^2x*x + 2ae^2x = 4e^2x
ae^2x (25^x2 + 20x + 2) = 4e^2x
ae^2x = 4e^2x
a = 4
yp: c1 * e^-3x + c2 *x*e^-3x + 4e^2x *x^2
takhle jsme to dali dohromady, doufám, že je to srozumitelné... jde hlavně o to, že u druhé derivace, je jako jedna z tzv. podmínek správnosti,
že se mi některé výrazy zkrátí díky odčítání, jenže mi tam máme jenom sčítání, tak jsme to vyřešili takhle....
a zbytek už jsme nestihli...
děkuji
Offline
#2 29. 04. 2008 19:02 — Editoval robert.marik (29. 04. 2008 19:07)
- robert.marik
- Einstein
- Příspěvky: 999
- Reputace: 1
Re: LDR n-tého řádu
napište co jste spočítali a my tam najdeme chybu, to je pro nás mnohem pohodlnější. jinak podobný se tu nedávno řešil, zkuste ho najít
obecne reseni: http://old.mendelu.cz/~marik/maw/index.php?form=lde2 (vyberte si jakou metodou)
part. reseni: http://matematika.havrlant.net/forum/vi … hp?id=2466
Offline
#3 30. 04. 2008 17:37
Re: LDR n-tého řádu
↑ robert.marik:
tak ju y´´+6y´+9y=4e^2x
yh: λ^2+6λ+9=0
D: 0 λ1,2= -3
y= e^-3x + x*e^-3x - bazické řešení
yh: y= c1*e^-3x + c2*x*e^-3x
y= a*e^2x * x^2
yp: y´= a*e^2x * 2 * x^2 + a*e^2x * 2x
y´= 2ae^2x + 2ae^2x*x
y´´= 2ae^2x*2*x^2 + ae^2x*2x + 2ae^2x*2*x + 2ae^2x + 4ae^2x*x^2 + 8ae^2x*x + 2ae^2x
4ae^2x*x^2 + 8ae^2x *x + 2ae^2x + 12ae^2x*x^2 + 12ae^2x*x + 9ae^2x*x^2= 4e^2x
25ae^2x*x^2 + 20ae^2x*x + 2ae^2x = 4e^2x
ae^2x (25^x2 + 20x + 2) = 4e^2x
ae^2x = 4e^2x
a = 4
yp: c1 * e^-3x + c2 *x*e^-3x + 4e^2x *x^2
takhle jsme to dali dohromady, doufám, že je to srozumitelné... jde hlavně o to, že u druhé derivace, je jako jedna z tzv. podmínek správnosti,
že se mi některé výrazy zkrátí díky odčítání, jenže mi tam máme jenom sčítání, tak jsme to vyřešili takhle....
a zbytek už jsme nestihli...
děkuji
Offline
#4 30. 04. 2008 18:21 — Editoval Jorica (30. 04. 2008 19:44)
Re: LDR n-tého řádu
↑ Lůca:
Zkusim to spocitat, ale co koukam na tve reseni, tak yh: y= c1*e^-3x + c2*x*e^-3x mas dobre, ale dalsi radek uz ne, tj. y= a*e^2x * x^2.
Funkce, kterou budu pouzivat pri variaci konstant (jak me nize Robert upozornil na preklep....ano, mela jsem na mysli metodu neurcitych koeficientu :-)) volim podle tvaru prave strany zadane rovnice a podle korenu charakteristicke rovnice. V tvem pripade:
na prave strane rovnice mas 4e^2x, tj. konstanta krat e^2x, proto volis fci ve tvaru a*e^2x
koreny charakteristicke rovnice jsou: -3 (dvojnasobny koren), proto jiz nicim vyse zvolenou fci nenasobis.
Ty jsi jeste nasobila vyrazem x^2, coz by bylo pravda v pripade, ze by dvojnasobnym korenem charakteristicke rovnice bylo λ1,2= 2 (protoze na prave strane rovnice v zadani, je u x v exponentu dvojka), coz ale neni pravda.
Takze celkove pouzivas pro dalsi reseni metodou neurcitych koeficientu jen vyraz Y=a*e^2x. Coz je jednodussi, nez jsi pocitala ty, protoze tady te neceka zadne derivovani soucinu :-)
Vysledek, jak lze spocitat i pomoci odkazu, co vkladal Robert, je:
Zkus si ted dopocitat ta partikularni reseni, pokud by byl problem dej zas vedet ;-)
Offline
#5 30. 04. 2008 19:30
- robert.marik
- Einstein
- Příspěvky: 999
- Reputace: 1
Re: LDR n-tého řádu
↑ Lůca:
25ae^2x*x^2 + 20ae^2x*x + 2ae^2x = 4e^2x
25ax^2 + 20a*x + 2a = 4
25a=0, 20a=0, 2a=4 -- tady je spor, ktery znamena ze predpoklad ze partikularni reseni je v tom tvaru ktere predpokladate je nespravny
tady je ta logicka chyba, druhy ardek neplyne z prvniho
ae^2x (25^x2 + 20x + 2) = 4e^2x
ae^2x = 4e^2x
↑ Jorica:
Ahoj. variace konstant? asi preklep :)
Offline
#6 30. 04. 2008 19:37 — Editoval Jorica (30. 04. 2008 19:50)
Re: LDR n-tého řádu
↑ robert.marik:
Ahoj. Preklep to neni ASI...ale URCITE :)) Snad mi to autorka dotazu odpusti ;)
Tak jsem to tam "castecne" opravila, abych nematla, ale soucasne "castecne" ponechala, aby bylo videt, v jakem stavu mam hlavu :) Ja spis celou dobu premyslela nad pojmenovanim tech funkci, protoze jsme pouzivali trochu jinou terminologii, co se tyka pojmenovani i znaceni.....ale ze nakonec pouziju spatny nazev metody, to me opravdu dostalo :))
Offline
#8 15. 05. 2008 12:50
Re: LDR n-tého řádu
Ahojky, promiň že obtěžuju, ale mohla by jsi se mi ještě mrknout na tu moji rovnici? prostě sem tupá, nevím co sní... byla bych ti moc vděčná, sice už probíráme něco jiného ale fakt mě zajímá jak vlastně vypadá, spravně vypočítaná... děkuju
Offline