Matematické Fórum

AlexC · 26. 12. 2010 15:49

Zdravím, nějak nevidim jaky typ by mela byt tato limita:

wolfram mi potvrdil ze by nemela existovat protoze ln cos pi by nemel existovat, nicmene proc by tedy vysledek mel byt nula?

Stýv · 26. 12. 2010 15:54

je tam ještě absolutní hodnota;)

AlexC · 26. 12. 2010 16:04

↑ Stýv:
v sešite mam uvedeno ze cos npi neexistuje, nechapu vlil absolutni hodnoty. Mocnina trojky vede na nekonecno, logaritmus by, za predpokladu existence cos pi, vedl k nule a resil bych pomoci LHospitala?

Oxyd · 26. 12. 2010 16:07

↑ AlexC:

V jakém smyslu „neexistuje“ cos(n pi)? Pro každé přirozené n je přece cos(n pi) dobře definován.

AlexC · 26. 12. 2010 16:13

↑ Oxyd:
no prave

v sesite mam napsano ze obdobny priklad s n-> nekonecno a cos npi neexistuje

Oxyd · 26. 12. 2010 16:17

V sešitě máš zřejmě napsáno, že $\lim_{n \to \infty} \cos(n \pi)$ neexistuje, že? To je ale něco úplně jiného než tvrzení, že cos(n pi) neexistuje.

Tenhle fakt ale akorát znamená, že to nemůžeš počítat jako $\left( \lim_{n \to \infty} 3^{2n - 1} \right) \cdot \ln \left| \lim_{n \to \infty} \cos(n \pi) \right|$ . To, že se to nedá počítat tímhle stylem, neznamená, že se to nedá počítat vůbec.

Návodná otázka: Kolik je $\left| \cos(n \pi) \right|$ pro přirozené n?

AlexC · 26. 12. 2010 16:24

Oxyd napsal(a):
V sešitě máš zřejmě napsáno, že $\lim_{n \to \infty} \cos(n \pi)$ neexistuje, že?
Návodná otázka: Kolik je $\left| \cos(n \pi) \right|$ pro přirozené n?

Ad 1) ano přesně to tam mám
Ad návodná otazka: pro n prirozene cislo(např 1) by cos pi me byt 1.

Oxyd · 26. 12. 2010 16:31

↑ AlexC:

Ano, |cos pi| je 1. Tohle platí pro každé přirozené n -- tzn. |cos(n pi)| = 1. Takže se limita dá upravit na $\lim_{n \to \infty} 3^{2n - 1} \cdot \ln (1)$ , ne?

AlexC · 26. 12. 2010 16:39

↑ Oxyd:
ln1 je 0 a cokoli *0 je nula, jasne uz chapu.

Jen nejak nechapu proc tedy cosnpi apod neexistuji. napr tady

pro 2 limita neexistuje, ale kdyz sem ke dvojce blizim tak existuje.
To vychází z obdobneho pravidla jako u lim cos npi neex, nebo je to tady kvuli definicnimu oboru tg?

halogan · 26. 12. 2010 16:51

↑ AlexC:

pro 2 limita neexistuje, ale kdyz sem ke dvojce blizim tak existuje.

Limita je pokaždé o "blížení se". My nešetříme chování v bodě $x_0$ , ale v jeho okolí. A musí platit, že limita zprava se rovná limitě zleva, aby ta limita existovala.

AlexC · 26. 12. 2010 16:54

↑ halogan:
zrovna jsem to konecne pochopil z grafu tady
http://www.aristoteles.cz/matematika/fu … funkce.php
diky :-)

AlexC · 26. 12. 2010 17:06

Ale nemelo by to být práve naopak? pokud se blizim k dvojce zprava, tedy 2pi z prava graf jde do +nekonecna, proc je to obracene?

Oxyd · 26. 12. 2010 17:16

Protože tam máš ještě ten zlomek před tím.

Je dobrý si to nejdřív rozložit a upravit: $\lim \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4x + 4} \cdot \mathrm{cotg}^2 \left( \pi x \right) = \lim \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)^2} \cdot \frac{\cos^2 (\pi x)}{\sin^2 (\pi x)} = \lim (x - 3) \cdot \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{ \cos^2 (\pi x) }{ \sin^2 (\pi x) }$ .

Když jde x ke dvojce libovolným směrem, tak x - 3 jde k -1, cos^2 (pi x) jde k 1 a sin^2 (pi x) jde k nule zprava. (Ten sinus na druhou jde skutečně k nule zprava ať se x blíží ke dvojce libovolným směrem, protože je ve druhé mocnině a druhá mocnina nemůže být nikdy záporná.)

Když jde x ke dvojce zprava, jde x - 2 k nule zprava a dostáváme z toho $-1 \cdot \frac{1}{+0} \cdot \frac{1}{+0} = -1 \cdot (+\infty) \cdot (+\infty) = -\infty$ . Když jde x zleva, tak x - 2 jde k nule rovněž zleva a je to $-1 \cdot \frac{1}{-0} \cdot \frac{1}{+0} = -1 \cdot (-\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$ .

Tady nápisem "+0" myslím "blíží se k nule zprava" a nápisem "-0" myslím "blíží se k nule zleva".

AlexC · 26. 12. 2010 17:21

↑ Oxyd:
tak tohle budu zpracovavat dyl, ale moc diky za vycerpavajici odpoved

AlexC · 26. 12. 2010 17:40

↑ AlexC:
a jak by se tedy z toho tveho postupu prislo na to, ze neexistuje pro x -> 2?

Oxyd · 26. 12. 2010 17:41

↑ AlexC:

Aby existovala oboustranná limita musí existovat obě jednostranné limity (to existují) a obě jednostranné limity se musí rovnat. Což se nerovnají -- ergo oboustranná limita neexistuje.

Matematické Fórum

#1 26. 12. 2010 15:49

limita posloupnostis logaritemem cosPI

#2 26. 12. 2010 15:54

Re: limita posloupnostis logaritemem cosPI

#3 26. 12. 2010 16:04

Re: limita posloupnostis logaritemem cosPI

#4 26. 12. 2010 16:07

Re: limita posloupnostis logaritemem cosPI

#5 26. 12. 2010 16:13

Re: limita posloupnostis logaritemem cosPI

#6 26. 12. 2010 16:17

Re: limita posloupnostis logaritemem cosPI

#7 26. 12. 2010 16:24

Re: limita posloupnostis logaritemem cosPI

Oxyd napsal(a):

#8 26. 12. 2010 16:31

Re: limita posloupnostis logaritemem cosPI

#9 26. 12. 2010 16:39

Re: limita posloupnostis logaritemem cosPI

#10 26. 12. 2010 16:51

Re: limita posloupnostis logaritemem cosPI

#11 26. 12. 2010 16:54

Re: limita posloupnostis logaritemem cosPI

#12 26. 12. 2010 17:06

Re: limita posloupnostis logaritemem cosPI

#13 26. 12. 2010 17:16

Re: limita posloupnostis logaritemem cosPI

#14 26. 12. 2010 17:21

Re: limita posloupnostis logaritemem cosPI

#15 26. 12. 2010 17:40

Re: limita posloupnostis logaritemem cosPI

#16 26. 12. 2010 17:41

Re: limita posloupnostis logaritemem cosPI

Zápatí