Matematické Fórum

squo · 26. 12. 2010 00:30

ahoj,
mam obrovskz problem s ulohami 1 a 4. Vedeli by ste mi pomoct?

dakujem velmi pekne :)

Pavel · 26. 12. 2010 01:17 — Editoval Pavel (26. 12. 2010 01:32)

↑ squo:

1. $\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin(\tan x)}{\tan(\sin x)}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin(\tan x)}{\tan x}\cdot \lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{\tan(\sin x)} \cdot \lim_{x\to 0^+}\frac{\tan x}{\sin x}=1\cdot 1\cdot \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x}=1.$

Stačí využít limity

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac x{\sin x}=\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac x{\tan x}=1.$

4. Využij Taylorův rozvoj logaritmických funkcí, tj.

$\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3),\quad x\to 0^+$

odtud plyne, že $k=2$ .

$\log\left(1+\frac 1{\sqrt n}\right)=\frac 1{\sqrt n}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n\sqrt n}+o(n^{-3/2}),\quad n\to\infty$

Nekonečná řada roste srovnatelně jako harmonická řada. Proto tato řada diverguje.

squo · 26. 12. 2010 11:18

vdaka pekne :) este jedna vec, vedel by si vyratat aj inac, ako cez taylora? to sme sa este neucili...

FailED · 26. 12. 2010 12:19 — Editoval FailED (26. 12. 2010 16:58)

↑ squo:

Čau,

4:
a) pomocí L'Hospitala:

$\lim_{x\to 0}\frac{x-\log (1+x)}{x^2}\cdot x^{2-k}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\frac{1}{1+x}}{2x}\cdot\lim_{x\to0} x^{2-k}=\frac12\cdot\lim_{x\to0} x^{2-k}$

b) Podle a) platí $\lim_{n\to\infty} n\cdot a_n=\frac12$ neboli $\lim_{n\to\infty} n\cdot a_{2n}=\frac14$ . Když k tomu ukážeme, že členy řady jsou (od nějakého $n_0$ ) nerostoucí, máme vyhráno, protože součet prvních $2^k$ členů řady bude zdola omezen $k\cdot\frac14+c$ kde c je vhodná konstanta závislá na $a_1$ a $n_0$ . To, že členy klesají plyne přímo z první derivace.

Nebo stačí porovnat s harmonickou řadou jako to udělal Pavel :)

OT: Můžu se zeptat jakého máš cvičícího?

squo · 26. 12. 2010 19:04

↑ FailED:
super, vdaka! :)
este mam jednu-dve nejasnosti, totizto:
ako Ta v a) napadlo supnut dole $x^2$ ? Preco prave $x^2$ ? (pytam sa, aby som vedel potom vseobecne aj v inych prikladoch pouzit tuto fintu... (: )

a este to b) akosi nechapem... ako si dospel k $\lim_{n\to\infty} n\cdot a_n=\frac12$ ? z coho? a co je to $a_n$ ?
Ako novacik sa v tom len fakt tazko orientujem...

PS: cviciaceho mame Hencla. Poznas? :)

FailED · 26. 12. 2010 19:35 — Editoval FailED (26. 12. 2010 19:43)

↑ squo:

Napadlo mě to protože jsem limitu znal :) Kdyby se to neudělalo, zjistil bys po Hospitalení co máš krátit a vyšlo by to stejně.

Aha, $a_n$ jsem si říkal členům té řady, myslel jsem tedy

$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n}}-\log$1+\frac{1}{\sqrt{n}}$}{\frac{1}{n}}=\lim_{x\to 0+}\frac{x-\log (1+x)}{x^2}=\frac12$ .

O Henclovi jsem slyšel, chodí k němu 2 spolužáci, prý je super, možná příští semestr. :)

Matematické Fórum

#1 26. 12. 2010 00:30

analyza funkcie,limity, derivacie...

#2 26. 12. 2010 01:17 — Editoval Pavel (26. 12. 2010 01:32)

Re: analyza funkcie,limity, derivacie...

#3 26. 12. 2010 11:18

Re: analyza funkcie,limity, derivacie...

#4 26. 12. 2010 12:19 — Editoval FailED (26. 12. 2010 16:58)

Re: analyza funkcie,limity, derivacie...

#5 26. 12. 2010 19:04

Re: analyza funkcie,limity, derivacie...

#6 26. 12. 2010 19:35 — Editoval FailED (26. 12. 2010 19:43)

Re: analyza funkcie,limity, derivacie...

Zápatí