Matematické Fórum

↑ symetrala:
Je to zapsáno dobře? Pokud ano, tak stroje umí i otrockou práci (jak lze zjistit zde).

↑ symetrala:
To je snad jedno, ne?
Já místo lambdy použil x, stejně tak jsem mohl použít cokoliv jiného. Jde jen o označení. Ten wolphram to zjednodušil na
Kdyžtak tak tvrdošíjně trváte na lambdě, je to: .
A nyní je potřeba vyřešit rovnici

↑ symetrala:
Tak postup spočívá v prostém roznásobení, posčítání a odečtení a v závěru proběhne nějaké vytknutí. Je to trochu otrocká práce, proto jsem využil wolphramu. Jinak v tom snad žádný fígl není.

↑ symetrala:
Aha, ale opravdu v tom je jenom prosté roznásobení...


EDIT: Omlouvám se za trochu ostřejší formulaci, asi už je pozdě. A dotaz ohledně písmenka mne trochu zaskočil.

↑ symetrala:
Ten Váš výraz je determinant matice a vlastní čísla jsou hodnoty, pro které je tento determinant roven nule. Takže musíte ten výraz položit rovno nule a výslednou rovnici vyřešit, jak jsem již naznačoval. Mělo by vyjít jen jedno řešení.

↑ symetrala:
Vy máte matici 3x3. Od prvků na hlavní diagonále odečtete lambdu a vlastní čísla jsou takové hodnoty lambda, pro které je determinant nově vzniklé matice roven nule. A protože je matice 3x3, stačí determinant spočítat podle Sarrusova pravidla. Tím vzniknul ten dlouhý výraz, se kterým jste přišla a prosila o jeho zjednodušení. Po zjednodušení hledáme takové lambdy, pro které je determinant rovný nule, tedy řešíme rovnici ve tvaru (zjednodušený výraz obsahující lambdu)=0. A řešením této rovnice jsou vlastní čísla původní matice.

Pokud by tento můj popis byl příliš složitý (což je k pozdní hodině celkem možné), zkuste nahoře do hledání napsat vlastní čísla a vyjede Vám spousta podobných příkladů i postupem.

↑ symetrala:
Jo, akorát že ten upravený výraz obsahuje třetí mocninu lambdy, takže řešení té rovnice je trochu komplikovanější než "obyčejný determinant".
Resp. teď na to koukám a vlastně nevím, o kterém konkrétním případě mluvíte. Jestli původní příklad nebo tento výraz. V tom druhém případě skutečně stačí vyřešit kvadratickou rovnici.

↑ symetrala:
V tom případě je nutné (jak už jsme probírali výše) všechno roznásobit a posčítat. A pak nějak "vhodně" výsledek upravit tak, aby byl ve tvaru součinu, protože potom je řešení rovnice hračka. K tomu právě krásně pomohl wolphram, který rovnou vyhodil výsledek ve tvaru . Tady to řešení rovnice s nulou na pravé straně je snadné.
Ale předpokládám, že chcete vědět, jak k tomu součinu dojít bez použití softwaru...

↑ symetrala:
po všech úpravách zůstane .
Tady existují v zásadě dvě možnosti, jak postupovat (Cardanovy vzorce nepočítám).
1) Buď něco vhodně vytkneme a upravíme, aby vzniknul součin. Toto ovšem nefunguje vždy, třeba tady zrovna nic vhodného nevidím.
2) Nebo musíme uhodnout jeden kořen (u zadaných příkladů to zpravidla bývá 1,-1,2,-2. A když ho uhodnete (zkusmo dosadíte a vyjde to nula) tak potom stačí celý výraz vydělit výrazem (x-uhodnutý kořen). Použije se klasický postup dělení mnohočlenu mnohočlenem.

Takže v tomto konkrétním příkladě uhodneme kořen -1. Takže vypočítáme a dostaneme .
Nyní se vrátíme k rovnici a nahradíme výraz součinem:


součin je roven nule, pokud jeden z činitelů je roven nule
tedy
tedy tato rovnice nemá řešení.

Existuje jedno vlastní číslo, a to

↑ symetrala:
Tam někde máte chybu v úpravě, nezmizí, ta tam po úpravě zůstane.

↑ symetrala:
Někde ještě bude chyba. Ale wolphram ji ji na svědomí nemá. Můžete ještě překontrolovat, jestli jste napsal zadání v prvním přípsěvku správně?

↑ symetrala:
A můžete sem nějak přepsat tu matici?