Matematické Fórum

lenka0112358 · 19. 12. 2010 13:57

Ahoj,
nevím si rady s tímto příkladem, tak prosím o pomoc jak na to. Moc díky

Kovová smyčka má šířku l, alektrický odpor R a hmotnost m. Vnější homogenní magnetické pole B je kolmé na rovinu smyčky a je pouze v prostoru nad přímkou a znázorněnou na obrázku. Určete maximální možnou rychlost v, které může smyčka dosáhnout, jestliže v čase t=0 byla v klidu a její dolní okraj se dotýkal přímky a.

medvidek · 20. 12. 2010 21:28

↑ lenka0112358:
Během klesání smyčky se bude zmenšovat magnetický indukční tok $\Phi$ plochou smyčky. Napětí, které se při tom ve smyčce indukuje, určuje Faradayův indukční zákon
$U=-\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t}$ (1)
V případě mag. pole $B$ kolmého na rovinnou smyčku o ploše $S$ platí
$\Phi=BS$
V našem případě je $B$ konstantní, zatímco aktivní část plochy $S$ se zmenšuje, protože smyčka opouští prostor s mag. polem. Okamžitou velikost $S(t)$ lze vyjádřit jako součin šířky smyčky $l$ a svislého rozměru $y(t)$ , který se mění v čase. Platí tedy
$\Phi(t)=BS(t)=Bly(t)$
Po dosazení do vztahu (1) dostaneme
$U(t)=-\frac{\mathrm{d} \Phi(t)}{\mathrm{d} t}=-Bl\cdot \frac{\mathrm{d} y(t)}{\mathrm{d} t}=Bl \cdot v_y(t)$ , kde $v_y(t)$ je okamžitá velikost rychlosti pádu smyčky.
Z Ohmova zákona můžeme vyjádřit proud indukovaný ve smyčce (odpor smyčky je $R$ ):
$I(t)=\frac{U(t)}{R}=\frac{Bl}{R} \cdot v_y(t)$

A nyní klíčová úvaha plynoucí ze zákona zachování energie.
Rychlost pádu smyčky se může zvětšovat pouze do určité hodnoty, kdy $v_y(t)=v_{max}$ . Tento okamžik nastane, když se srovná rychlost úbytku potenciální energie $E$ smyčky se ztrátovým tepelným výkonem $P$ elektrického proudu tekoucího smyčkou.
$-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E(t)=P(t)$ (2)
Potenciální energii a ztrátový výkon není složité vyjádřit
$E(t)=mgy(t)$ , $P(t)=U(t)I(t)=\frac{B^2l^2}{R}v_y^2(t)$ .
Dosadíme do (2) a upravujeme
$mgv_y(t)=\frac{B^2l^2}{R}v_y(t)^2$
$mg=\frac{B^2l^2}{R}v_y(t)$
Rychlost pádu smyčky tedy nemůže být větší než
$v_{max}=\frac{mgR}{B^2l^2}$ .

lenka0112358 · 28. 12. 2010 23:37

↑ medvidek:

díky moc

Matematické Fórum

#1 19. 12. 2010 13:57

Magnetické pole

#2 20. 12. 2010 21:28

Re: Magnetické pole

#3 28. 12. 2010 23:37

Re: Magnetické pole

Zápatí